3.5.3. Droites Parallèles
Fig.3.7. Droites parallèles dans l'espace courge de
la géométrie hyperbolique
Grâce au logiciel NonEuclid, nous constatons
que dans la figure ci-dessus, la droite hyperbolique BA et la droite
hyperbolique BC sont toutes deux des droites infinies dans le même plan.
Elles se rencontrent au point B et, par conséquent, elles ne sont pas
parallèles. La droite hyperbolique DE et la droite hyperbolique BA sont
aussi des droites infinies dans un même plan, et elles n'ont pas de point
commun, DE est parallèle à BA. De même, la droite
hyperbolique DE est aussi parallèle à la droite hyperbolique
BC.
Nous savons qu'en géométrie euclidienne: Si deux
droites sont parallèles à une même troisième, ces
droites sont parallèles entre elles. C'est un théorème en
géométrie euclidienne, cependant en géométrie
hyperbolique l'exemple ci-dessus prouve que c'est faux (BA et BC sont
parallèles a DE, pourtant BA n'est pas parallèle à BC).
Dans ce modèle de la géométrie
hyperbolique, les objets paraissent de plus en plus petits quand ils approchent
le cercle frontière et que la distance d'un point quelconque
intérieur à la frontière est infinie. Même si un
segment hyperbolique mesure 100 millions de miles de long, il n'atteindra pas
le cercle frontière et chaque extrémité du segment peut
être éloignée.
3.5.4. Utilisation du logiciel
Le modèle utilisé par NonEuclid est un
modèle fini à deux dimensions de la géométrie
hyperbolique. Le large cercle vide qui apparaît au démarrage de
NonEuclid est nommé le Cercle frontière.
Celui-ci est la zone de dessin à l'écran et il contient
complètement l'espace hyperbolique infini à deux dimensions.
Exemple 3.3.
Construction d'un triangle ABC.
Les étapes suivantes permettent la construction du
triangle en géométrie hyperbolique :
- Choisissons l'option Draw Line Segment (Specify Two
Endpoints) du menu Constructions. La boîte de dialogue
Draw Line Segment s'affiche.
- Déplaçons la souris à l'intérieur
du cercle frontière. Notons que quand la souris est à
l'intérieur de ce cercle le curseur devient une croix.
- Cliquons quelque part à l'intérieur du cercle
frontière. Un point sera dessiné. Ensuite, remarquons que quand
nous déplaçons la souris, Length = est suivi d'un nombre
dans la boîte de dialogue Draw Line Segment. Ce nombre est la
distance du premier point marqué à la position de notre
souris.
- Cliquons à un deuxième emplacement à
l'intérieur du cercle frontière. Un second point sera
dessiné et un segment de ligne droite affiché entre les deux.
- Cliquons sur l'une des extrémités de votre
segment. Puis déplaçons la souris vers un troisième point
et cliquons à nouveau. Un second segment de droite sera dessiné.
Deux côtés de notre triangle sont alors définis.
- Construisons le troisième côté en cliquant
sur l'une des extrémités puis sur l'autre. Notre premier triangle
est alors complet.
Fig.3.8. différentes étapes pour la
construction du triangle ABC
Remarque 3.9.
Nous pouvons mesurer les angles et les longueurs des
côtés de notre triangle avec l'option Measure Triangle du
menu Measurements. Remarquons que la somme des trois angles de notre
triangle est toujours inférieure à 180°.
En géométrie hyperbolique le triangle ABC,
montré ci-dessus, semble courbe. Et pourtant en géométrie
hyperbolique, ses trois côtés sont des segments parfaitement
rectilignes! En géométrie hyperbolique la plupart des droites
apparaissent courbées vues de notre géométrie euclidienne
habituelle. Si nous vous pouvions entrer dans le monde de la
géométrie hyperbolique, toutes les lignes droites
montrées dans cette représentation nous apparaîtraient
parfaitement rectilignes.
Remarques 3.10.
- La droite hyperbolique n'est pas la même chose que la
droite euclidienne (par exemple, la droite hyperbolique est incurvée).
Elles ont cependant beaucoup de propriétés semblables entre
autres :
En géométrie euclidienne, il n'y a qu'un plus court
chemin entre deux points. Nous appelons ce "plus court chemin" la ligne
"droite", et ce chemin forme le segment de droite joignant les deux points. La
même chose est vraie en géométrie hyperbolique avec les
points hyperboliques et le segment de droite hyperbolique.
En géométrie euclidienne, deux points
définissent une droite unique. Autrement dit, avec 2 points quelconques,
il existe une droite passant par ces deux points. De plus cette droite est
unique. Nous avons exactement la même chose en géométrie
hyperbolique.
En géométrie euclidienne, la lumière se
déplace selon une ligne droite euclidienne. De même en
géométrie hyperbolique, la lumière se déplace selon
une ligne droite hyperbolique.
- En dépit de ces similarités, les droites
hyperboliques ont de nombreuses propriétés différentes des
droites euclidiennes. Par exemple, les théorèmes de
géométrie euclidienne suivants sont faux en
géométrie hyperbolique:
En géométrie euclidienne, si deux droites sont
parallèles à une 3ème, ces droites sont parallèles
entre elle.
En géométrie euclidienne, si deux droites sont
parallèles, alors elles sont équidistantes.
En géométrie euclidienne, des droites qui n'ont pas
de fin (droites infinies), n'ont pas d'extrémité (un point sans
suivant, ici jamais atteint).
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