3.6. Domaine d'application
La géométrie riemannienne est d'une importance
capitale dans la théorie de la relativité générale.
En effet, dans la théorie de la relativité
générale, Einstein postule que l'espace-temps est un espace
riemannien. Plutôt que de suivre des lignes droites, comme c'était
le cas en relativité restreinte, les observateurs inertiels de la
relativité générale suivent des
géodésiques, courbes qui sont
localement équivalentes à des droites et
généralisent cellesci dans le cadre de la géométrie
riemannienne.
La notion de droite énoncée par Euclide est
celle d'une ligne qui est identique à ellemême en tous points,
cependant, une autre définition possible est de dire qu'une ligne droite
est le << plus court chemin joignant deux points donnés ».
Ainsi, on peut étendre cette dernière définition au cas
des espaces courbes (=riemanniens), la construction globale de la courbe se
faisant de proche en proche, jusqu'à donner une
géodésique. Les
géodésiques en tant que généralisations naturelles
des lignes droites sont d'ailleurs des objets mathématiques très
utilisés.
Exemples 3.4.
- << Le plus court chemin pour voler de la Floride aux
Philippines passe par l'Alaska ». Les Philippines sont au
Sud de la Floride - pourquoi faut-il voler vers le
Nord, vers l'Alaska pour avoir le plus court chemin? La raison
en est que la Floride, l'Alaska, et les Philippines sont colinéaires en
géométrie sphérique. Ces lieux sont sur un Grand
Cercle.
- Lorsque l'on marche droit devant soit, la Terre
n'étant pas plate mais courbe, on ne suit pas une ligne droite, mais
bien une géodésique : en continuant suffisamment on se retrouve
à son point de départ. Et le fait que ces trajectoires sont les
plus courtes est également très important pour la navigation
aérienne ou maritime, ce qui explique pourquoi
les avions traversant l'Atlantique se rapprochent du Pôle
Nord, alors que sur une carte cela semble rallonger la distance.
A chaque géométrie on peut faire correspondre
une idée de courbure de l'espace : positive chez Riemann,
négative chez Lobatchevski, et nulle dans la géométrie
euclidienne. Einstein a utilisé cette idée pour construire la
théorie de la relativité : « un rayon lumineux suit le plus
court chemin, mais, si l'espace est courbe, celui-ci n'est plus
nécessairement une droite. »
La géométrie non-euclidienne est fort
utilisée par les pilotes et capitaines de navire pour naviguer autour du
monde.
| 
