Introduction à la géométrie non-euclidienne

2.2. Trièdre de Frenet1

Soit une courbe, s(t) son abscisse curviligne et M 0 = s( t₀) son origine. Appelons :

df t

( ) d OM

T = = (2.10.)

ds ds

par définition de la différentielle la tangente T à au voisinage de M. De plus, par définition de l'abscisse curviligne :

et donc T unitaire. En considérant

ds

1

T

dOM

(2.11.)

dT (2.12.)

ds

Nous savons que :

T = TT

1

(2.13.)

donc :

d T T

( dT dT dT

= T T

+ = 2 T = 0 (2.14.)

ds ds ds ds

Ce résultat va nous être utile pour déterminer les conséquences de la définition suivante. Posons:

N=

dT

dT

	=	dT	(2.15.)
ds		ds
		C
ds

Definition 2.3.

Etant donné le résultat précédent, N est le vecteur perpendiculaire unitaire à T (nous disons que ce couple de vecteur est orthonormal direct) en M et C en est par définition la courbure.

¹ Jean Frédéric FRENET, mathématicien, astronome et météorologue français (1816-1900).

Si C ? 0 , alors :

d T

ds ? ? N= = 1

C C

?? ?? =

d T dT

R (2.16)

ds ds

où R est appelé le rayon de courbure.

Definition 2.4.

La relation :

N

R

dT

= (2.17.) est appelé première formule de Frenet.

ds

Pour donner une interprétation géométrique de la courbure à en M, il suffit d'étudier la projection ã de dans le plan défini par ( M , T , N . Ainsi, nous définissons par Ù le point

du plan contenant le centre du cercle osculateur ou cercle de courbure qui tangente le mieux ã et tel que :

Ù = M + R N (2.18)

Definition 2.5

Le cercle de centre Ù et de rayon R est le cercle qui tangente le mieux ã et . Il est appelé cercle osculateur à en M.

dT

Dans le cas particulier où est un vecteur constant : = 0

ds

et donc C = 0 ce qui implique que R n'est plus défini. On dit dans ce cas que le rayon de courbure à est infini (une droite présente alors une courbure nul en tout point). Etudions maintenant le vecteur : B = T × N (2.19.)

Nous pouvons déjà dire, étant donné que T et N sont unitaires que B l'est aussi.

Démontrons que ^dB est orthogonal à T : ds

dN N

× = × +

N

ds R

dN

× = ×

T

ds

, car N × N=O (2.20.)

T

dN
ds

+

T

dB =

dT ×

N

ds

ds

Etant donné que N est perpendiculaire à T , et que ^dB est aussi perpendiculaire à T nous

ds

pouvons en conclure que ^dB est colinéaire à N .

ds

Posons :

dB ds

N = R '

(2.21.)

Cette relation constitue la deuxième formule de Frenet avec R' où par définition, B est le vecteur binormal de au point M et ' - 1

R en est la torsion et R' le rayon de torsion.

Nous pouvons maintenant établir la 3^ème formule de Frenet :

B = T×N ? N=B×T (2.22.)

d'où nous tirons :

N

' × + × (2.23.)

T B
R R

ds

T₌

N

dN =

×

dB ×

T B

+

ds

ds

Or de par les propriétés du produit vectoriel :

N × T=- B B × N=- T (2.24.)

d'où la troisième formule de Frenet :

(2.25.)

Définition 2.6.

T

B

dN =

' -

R

ds

R

Nous appelons trièdre de Frenet associé à au point M, le repère naturel orthonormal

Fig.2.1. Trièdre de Frenet.

de l'espace (M , T , N, B :

Remarque 2.3.

Le rayon de courbure est donc dans le plan osculateur (plan formé par le vecteur tangent et normal à la courbe) qui est le meilleur plan dans lequel est contenu la courbe. Le rayon de courbure donne en un point (localement) le meilleur ("le plus vrai") rayon de la courbe. La torsion nous donne par contre la tendance qu'à la courbe à sortir du plan osculateur. Si la courbe est contenue dans un plan, la torsion est nulle.

Exemple 2.2.

Cherchons le rayon et le centre de courbure en tout point M de l'hélice définie plus haut. Rappelons que la fonction paramétrique est donnée par :

)

x r t

= cos(

? ?

?

? ?

? ? z ht

=

? ?

OM = ? y r t

= sin( )

(2.26.)

et que :

ds

dt

ds

r

r h

2 2

+

h

r h

2 2

+

= + (2.27.)

r ² h ²

ds

dt

?

sin( ) ?

cos( )

t ? (2.28.)

? ?

d OM d OM dt

T = = =

T

r h

2 2

+

t

Nous avons dès lors :

r

Ainsi, la courbure (l'inverse du rayon de courbure) est donnée par :

	r	cos( t	)
	r h 2 2 +

sin( t )

dT

(2.29.)

(2.30.)

dT =

ds dt

dt

ds

r

r h

² + 2

dT =

ds

r

r h

2 2

+

0

Donc le rayon de courbure vaut :	R	r h ^2 +	2

r

? - cos( )

t ?

? ?

et il vient par la première formule de Frenet : N = ? - sin( )

t? (2.31.)

? ?

? 0 ?

De par la 3^ème formule de Frenet :

? ?

?

? ?

sin(

)

r

2 . 2 1

r + n

t

?

? ? - cos( )

t ?

r ? ? 1

B

T

×

N

t

cos( ) ? × ? - sin( )

t ? =

r ² + h2

+

? 2 2

? ? r h

h

? ? 0 ?

r t h

Appelons Ó = g (D) . Si g est continue, alors Ó est une surface de l'espace surface d'un seul tenant. Par définition, dans ce qui suit, le couple ( g, D) oft g est une fonction supposée continue sera appelé nappe paramétrée, et Ó le support de la nappe paramétrée. Nous disons encore que( g, D) et ( u , v) sont des paramétrages de Ó .

? ? ? ? ?

cos( ) .0 ( sin(

- - t ))

h

( cos( ) ( sin( ))

t - - r t · 0

( r t

sin( ))( sin( )) cos( )( cos(

- t r t

- - t ))

r² + 2 1 r + n

(2.32.)

1

2

r

[)

r h sin(t) ?

.

2

1

+ n

et le rayon de torsion étant donné par la relation :

dB ds

N = ' R

(2.33.)

Nous avons donc :

? ?

?
?
= ?

?

??

?

h ? ? h t

cos( )

'

cos( )

t ? - cos( )

t R

=

2 2 ? r h

2 2

ü +

h ? +

??

N = _R' dB =R'

dB

dt

h ? h t

sin( )

'

sin( ) ? ? - sin( )

ds

dt

ds

t R

t = (2.34.)

+

?
?
?

2 ² r h

2 2

ü h +

?

0

0 0

=

?

d'oft :

R

r ² + h2

h

(2.35.)

?x u v ( , ) ? D R ³ ? ? ? ? ?
2

Soient D R g ,

? : ? ? avec OM = ? y u v

( )

, ? (2.36.)

? ( )

u v g u v M

? , = ? ?z( u ,v

)

?