Introduction à la géométrie non-euclidienne

2.3. Nappes paramétrées

Definition 2.7.

Remarque 2.4.

Pour une surface Ó (par exemple un disque), il existe plusieurs nappes paramétrées associées (par exemple les coordonnées cartésiennes, polaires, sphériques).

Soit maintenant I ? R et :

? I R ^2 ? ? h ? ( ) ( )? ? t h t u v ? = , ? tels que h( I ) ? D

(2.37.)

I R ³

? ? ?

Nous pouvons définir g h : g h ? ? (2.38.)

(

? t g h t g u t v t

? ( ) ( ), ( )

= ?

En supposant h continue, il est clair que g h est un arc paramétré. Appelons son

support, nous avons ? Ó et nous disons que est une courbe tracée ou courbe inscrite sur Ó .

Remarque 2.5.

Nous supposerons toujours désormais que D = I × J

Soit M 0 ? Ó , M₀ = g(u ₀, v ₀ ) . Intéressons nous aux deux courbes tracées sur Ó définies par les arcs paramétrés suivants :

?

g_v , I

₀ avec g v ??

0

?

I R ³

? ?

u g g u v

( )??

? = ,

v 0

0 ?

(

3

? I R

? ?

(

gu , J ₀ avec g ?? ( )?? (2.39.)
u 0 ? = ? v g g u v 0 , u 0 ?

gu0 ^et g_v0 sont les deux fonctions dites fonctions partielles de g en ( u₀ , v ₀ ) . Les supports de ( g_u , J

₀ et ( g_v , I

₀ sont appelés courbes-coordonnées de Ó en M₀

relativement au paramétrage( g, D) . Nous les notons respectivement _u0 et _v0 . Nous appelons aussi _u0 1ère courbe-coordonnée et _v0 2ème courbe-coordonnée.

Il est bien sûr évident que :

0 = = (2.40.)

dg_u ? g ? OM

dv

? v

?v

? OM

est tangent à _u0 en M₀ et que est tangent à _v0 en M₀ .

?u

(2.41.)

2.4. Métrique d'une surface

R

Soft ? 3 x(u , v)

Soft : g ? , avec OM = Ly( u , v)? (2.42.)

( u, v ) ? g u ,y` = M

z( u ,v) ?

Notons dg = ( dx, dy, dz) , autrement dit :

? dx ?

? ?

d OM = ? dy ? (2.43.)

? ?

? dz ?

Nous avons aussi :

? x

?x

+

dx

du

dv

?v

? u

?

, dy = y _du+ ?y dv , dz = ?z du + ?z dv (2.44.)

?u ?v ?u ?v

et nous avons démontré au début de ce chapitre que l'abscisse curviligne dans un espace cartésien était donnée par :

_ds 2 = dx² + ^dy2 + dz2 (2.45.)

Nous avons donc après substitution :

dudv

2 2 2

? ? ? x ? ? ? y ? ? ? z ? ? ? ? x ? x ? y ? y ? z ? z ?

2 2

ds = ? ?? ?? + ?? ?? + ?? ? du + 2 + +

u u u ?? ?? ? u ? v ? u ? v ? u ? v ??

? ? ? ? ? ? ?

?? ? (2.46.)

2 2 2

? ? ? x ? ? ? y ? ? ? z ? ? 2 + ? ?? ?? + ?? dv

v

? v ?? + v ??

? ? ?

? ? ?

2

? ? OM ?

, G = v

?? ?? (2.48.)

?

? ?

????

E = ,

????

?u

?

OM

F

?OM

?OM

?v

?u

Ce qui est équivalent à écrire :

ds 2 = [?OMf du² + 2 ? OM ?OM _dudv+[? ^OM dv² (2.47.)

)

?u ?u ?v ?v

2

De manière plus traditionnelle avec la notation :

Nous obtenons la première forme quadratique fondamentale :

ds 2 = Edu² + 2Fdudv+ Gdv² (2.49)

avec

E = ? 1 x + ? y + ? z , ( )

2

( ) 2 ² G = ? 2 x + ? y + ? z ,

2

2 ² F x x y y z z

= ? 1 ? 2 + ? 1 ? 2 + ? 1 ? 2

1 1 2 2

Remarque 2.6

Cette expression est indépendante de la nappe paramétrée ( g, D) car l'élément de

longueur infiniment petit ds est indépendant du paramétrage de Ó . Cette forme quadratique est donc un invariant qui représente la métrique sur Ó .