Chapitre deuxième : COURBES ET SURFACES DE
L'ESPACE
Dans le deuxième chapitre, nous définirons les
courbes et les surfaces de l'espace en mettant un accent sur la métrique
d'une surface. Ces notions seront nécessaires pour la
compréhension du chapitre qui va suivre.
2.1. Courbes de l'espace
Définition 2.1.
Nous assimilerons l'espace physique à
R3 et le supposerons muni d'un
repère
R = (O, i , j , k et
nous noterons B la base ( i , j , k .
I R 3
? ? ?
Soient un ensemble I ? R et
une fonction = f ( I) telle que : f ? ?
, , ,
M ( x y z
t f t M
? ( )
? = ?
(2.1.)
Remarques 2.1.
- Si f est continue, alors est une courbe de l'espace
appelée courbe d'un seul tenant.
- Une parabole, une sinusoïde sont des courbes
appelées courbes planes. Une ellipse, un cercle sont elles
appelées des courbes planes fermées. Pour ces exemples,
tous les points des courbes considérées sont situés dans
un même plan. Inversement, une courbe est appelée courbe
gauche (gauchir = dévier, tordre) s'il n'en est pas ainsi.
Définition 2.2.
Soient t 0 ? I et M 0 = f(
t 0) que nous noterons M ( t0
) .Le couple (f, I) où f est une
fonction continue est appelé arc
paramétré. est appelée le support de
(f , I) et t0 est une origine de
(f , I).
Remarques 2.2.
- Abusivement, nous disons aussi que (f, I) est
un paramétrage de .
- Il est facile de définir d'autres arcs
paramétrés admettant aussi comme support. Pour ce faire, il
suffit de se donner une fonction ? bijective de I vers J ?
R et telle que
Nous savons que dans un espace euclidien canonique
dans R3 l'abscisse curviligne
s'écrit alors :
ds 2 = ä iidui
duj (2.2.)
avec i, j=1, 2, 3 et comme nous avons ä
ij= 0, i ? j , il reste :
ds 2 = du1 du1 +
du2 du 2 + du3
du 3 = ( du1 ) 2 + du2
+( du3)2 (2.3.)
Dans le système cartésien :
u 1 = x, u 2 =
y,u 3 = z (2.4.)
il vient donc que :
ds 2 = dx2 +
dy2 + dz2 (2.5.)
qui est donc l'élément différentiel
linéaire d'un espace euclidien (le plus court chemin ou encore la
géodésique ou encore l'abscisse curviligne
différentielle.
Nous pouvons bien évidemment écrire (par
multiplication des deux côtés de l'égalité) :
2 2 2 2
? ds ? ? dx ? ? dy ? ? dz
?
?? ?? = ?? ?? + ?? ?? + ?? ??
dt dt dt
dt
(2.6.)
Exemple 2.1.
Voyons une application avec une hélice qui est un exemple
typique de courbe gauche : Soit ( t , r , h)?
R3, t>0,r>0,h>0 et la
fonction :
? [ ]
, ? ?
3
f o t R
? t f t M
( ) ?
? ? = ?
avec M(x,y,z) et les coordonnées
paramétriques :
x = r
r
cos( t)
sin
y
?
??
??
(2.7.)
( t)
z = ht
La fonction f est un arc paramétré dont le
support est appelé une hélice, r en est le
rayon et
h le pas. En prenant t 0 = 0 comme origine,
l'abscisse curviligne de cette hélice (un morceau) est donné par
:
2 2 2 2
( t) +r2 c(k2 t h 2 = r
2 h2 (2.8.)
? ds ? ? dx ? ? dy ? ? dz ? 2
2
?? ?? = ?? ?? sin
?? r
dt dt ?? + dt ?? + dt ?? =
Donc :
ds
dt
= r2 + h2 et donc s
= r2 + h2 t (2.9.)
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