1.4.1. Conditions de stabilité
Dans le cas des systèmes linéaires invariants I F,
la propriété de stabilité peut être testée
en
vérifiant la localisation des valeurs propres de la
matrice (racines du déterminant de la
matrice I C F, encore appelé polynôme
caractéristique) ou de façon équivalente, des
pôles de la matrice de transfert I F, dans une certaine
région du plan complexe. Pour les systèmes continus, cette
région est le demi-plan complexe gauche. D'autres régions plus
complexes peuvent également être considérées pour
assurer une certaine performance du système. Il existe différents
critères algébriques permettant de tester cette localisation des
pôles, comme par exemple, le critère de Routh-Hurwitz.
Un système au repos (conditions initiales nulles) est
stable au sens _ f1 si et seulement si
pour toute entrée I F bornée la sortie I F est
bornée.
Théorème 1.1 : un système i
of possédant entrées et sorties de matrice de réponse
impulsionnelle DI F est _ f 1 stable si et seulement s'il existe
une constante [ M telle que :
5 --fi I I CI CI II DD
Il est à noter que la stabilité EIED n'impose pas
à la réponse impulsionnelle d'être bornée.
Seule l'aire sous la courbe de la réponse impulsionnelle
doit l'être. Toutefois, cette
caractérisation n'est pas facile à utiliser en
pratique (calcul de l'intégrale de la valeur absolue de la
réponse impulsionnelle). Cela nous conduit à chercher une
caractérisation plus simple utilisant la fonction de transfert (matrice
de transfert cas multivariables) qui est l'équivalent
opérationnel de la réponse impulsionnelle, soit :
( ) = ( ) Fonction de transfert entre la é sortie et la
é entrée.
Cette caractérisation peut être
développée à partir de la localisation des pôles du
système dans
le plan complexe. Alors, le système est BIBO stable si les
pôles (zéros du polynôme ( )
définis au paragraphe 1.3.3), satisfont les trois
conditions du théorème 1.2.
Théorème 1.2 : le système
est BIBOstable si et seulement si :
) Les pôles de ( ) sont à partie réel
négative
) ( ) Ne possède pas de pôles à l'origine
) Les pôles à partie réel nulles doivent
être simples
20
1.5. Résultats de simulation
Nous présentons dans cette partie les résultats
de simulation des différents critères de performances. Les
valeurs des paramètres constants du modèle utilisés pour
la simulation sont données par le tableau suivant :
|
symbole
|
paramètre
|
valeur
|
unité
|
|
Masse non suspendue
|
30
|
kg
|
|
Masse suspendue
|
250
|
kg
|
|
Ressort de la suspension
|
20000
|
N/m
|
|
Ressort du pneu
|
200000
|
N/m
|
|
Amortisseur de la suspension
|
1000
|
N.S/m
|
|
Amortisseur du pneu
|
100
|
N.S/m
|
Tableau 1.1 - Valeurs numériques des paramètres du
modèle quart de véhicule
Afin d'analyser le comportement du système en boucle
ouverte (sans contrôle) sur le plan fréquentiel et temporel, nous
allons calculer ses valeurs propres, ensuite tracer les réponses
fréquentielles de chaque critère de performance ainsi que les
réponses temporelles.
? Valeurs propres
|
Valeurs propres
|
amortissements
|
Pulsations (rad/s)
|
|
-1.64 #177;48.43
|
0.195
|
8.59
|
|
-18.7 #177; 82.9
|
0.219
|
85
|
Tableau 1.2 - Pôles du modèle de la suspension quart
de véhicule en boucle ouverte
Le système possède quatre valeurs propres complexes
conjuguées à partie réelle négative, signifiant
qu'il est donc stable.
|
Partie imaginaire
|
100 80 60 40 20
0 -20 -40 -60 -80 -100
|
La figure suivante présente le diagramme pôles
zéros du système :
modes lents
modes rapides
-20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0
Fartie réelle
Figure 1.2 - Diagramme pôles-zéros du
système
Nous constatons sur la figure 1.2, deux modes oscillatoires
(pôles complexes conjugués), ces modes correspondent
respectivement au mode lent de la caisse (masse suspendue) et au mode rapide de
la roue (masse non suspendue).
? Réponses fréquentielles
Comme nous l'avons vu au paragraphe (1.3.2.3), nous devons
surveiller l'accélération
verticale de la caisse ( ( ) ), le
débattement de la suspension ( ) - ( ) et l'écrasement
du pneu ( ) - ( ) .
La figure suivante montre les résultats
fréquentiels de simulation en boucle ouverte :
Diagramme de Bode du transfert Yacc(s)/w (s)
102
101
100
10-1
100 101
Magnitude (abs)
liagramme de Bode du transfert Ypneu(s)/w (s)
1
10-2
10-3
100 101
Magnitude (abs)
10
Fréquence (Hz) Fréquence (Hz)
Diagramme de Bode du transfert Ysusp(s)/w (s)
100
10-1
10-2
10-3
100 101
Magnitude (abs)
22
Fréquence (Hz)
Figure 1.3 - Réponse fréquentielle des
critères de performances
Le test temporel simule le passage du véhicule sur un
profil de la route ayant comme équation :
(
33
33333 333 3 33333 3 3 33 33 3 3 3 333 (1.26)
3 33333
Dans notre cas est considérée comme étant le
profil de la route 2 3, ceci s'explique par le fait que l'amortissement du pneu
peut être négligé.
Accélération Verticale de Caisse
0 0.5 1 1.5 2
temps (s)
x 10-4 Ecrasement du pneu
passif
0 0.5 1 1.5 2
tamps (s)
Amplitude (m)
4
2
0
-2
-4
-6
Amplitude (m/s2)
-0.2
-0.4
0.4
0.2
0
passif
x 10-3 Débattement de suspension
Amplitude (m)
-2
-4
4
2
0
passif
0 0.5 1 1.5 2
temps (s)
Figure 1.4 - Réponse temporelle des critères de
performances
24
| 
