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Contrôle actif robuste d'une structure flexible

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par Lyes et Mohamed HADJOU et BELHOCINE
Mouloud MAMMERI Tizi-Ouzou - Master en automatique 2010
  

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1.3.3. Relation entrée-sortie

Le comportement dynamique d'un système linéaire étant défini par l'évolution de ses variables d'état, on sait que les variables d'observations (sortie) s'expriment alors par une forme linéaire des variables d'état et des variables d'entée (1.15).

La relation entrée-sortie temporelle (système d'équations différentielles) est présentée sous la forme opérationnelle en appliquant aux équations d'état et d'observation la transformation de Laplace.

Soit I Fla transformé de Laplace de I F xM, oox , alors :

{ ( 1} Z I F - (1.18)

À l'instant Z 0 le système est au repos, c'est-à-dire que son énergie emmagasinée est nulle, il en découle ;

 

Z 0 , le système d'équation (1.17) devient :

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que l'on peut encore écrire :

I F Z 1 1 F F (1.20)

d'où l'on tire la matrice de transfert :

I F Z , - H (1.21)

Avec F F Z , I F F F] , Z , z , Z , z

La matrice I F est une matrice rationnelle, c'est-à-dire que ses composantes sont des fractions de polynômes en .

Il existe plusieurs façons de représenter la matrice I F. Une possibilité consiste à calculer le
plus petit commun multiple de tous les polynômes dénominateurs de I F, que nous noterons

par I F. La matrice I F peut alors s'écrire :

I F Z E F (1.22)

E F

Où F F est une matrice polynomiale, c'est-à-dire que ses composantes sont des polynômes
en . Une troisième représentation I F consiste à utiliser des fractions de matrices

polynomiales.

Nous pouvons alors écrire :

I F Z I I I F Z I F I F (1.23)

Où I F, I F, I F et I F sont des matrices polynomiales avec I F et I F carrées

inversibles. Le couple I F, I F est une fraction de matrices polynomiales à droite. Le

couple I F, I F est une fraction de matrices polynomiales à gauche. En particulier, nous

avons :

I F Z CEi F F (1.24)

Les zéros du polynôme I F, c'est-à-dire les valeurs pour lesquelles le polynôme s'annule,
sont les pôles du système multivariables (racines de I F Z 0). Ce sont également les zéros

des matrices polynomiales I F et I F.

> Avec l'approche par matrice de transfert, les problèmes de commande reviennent à

étudier les propriétés algébriques des matrices polynomiales et de leurs zéros.

Dans ce qui suit, nous introduirons une définition de la notion de stabilité des systèmes linéaires et invariants et les outils mathématiques de base nécessaires pour l'analyse. Ces outils concernent essentiellement le calcul matriciel dans le domaine complexe.

1.4. Notion de stabilité

La notion de stabilité est fondamentale dans le développement des systèmes de commande et particulièrement pour les architectures de commande à contre-réaction. En effet, en l'absence de cette propriété qualitative, aucun système n'est utilisable en pratique. Ce concept dont chacun a une compréhension intuitive s'avère délicat à définir de manière uniforme dans sa généralité. Il est le plus souvent nécessaire de définir les propriétés particulières du système que l'on souhaite caractériser à travers une notion de stabilité qui sera adéquate.

Qualitativement, on dit qu'un système est dans un état stable quand à la suite d'une
perturbation (de durée limitée) il tend à retrouver son état initial ; cette définition est

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satisfaisante pour les systèmes linéaires qui évoluent selon une réponse transitoire amortie lorsqu'ils sont stables.

Un autre point de vue peut être adopté où la stabilité d'un système est définie simplement au
sens d'un critère entrée-sortie ; un système sera dit stable si sa réponse à toute entrée bornée

est bornée : on parle de stabilité _ f 1 I gl am faél i gl am 1 l fél IF. Cette définition

ne met en jeu que les signaux exogènes ; aucune variable interne n'est directement concernée.

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"Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit."   La Rochefoucault