Influence de la dispersion aléatoire faible sur la transmission par solitons et du mélange à quatre ondes dans les fibres optiques

2.1 Origine d e l'équation modèle non linéaire de Schrödinger [4]

Nous l'avons dit p récéde mment_' la dynamique des ond es solitaires dans les fibres op tiques_' a pour origine les équations qui régissent celle de l'onde électro magnétique qu'est la lumiére a savoir les équations d e MAXWELL :

,...

rotE

at

,...

divB

a

I

A

( 2.1)

0

,...

D

,rotH = J

l ^l+aat

oil E et H représentent les champ s électrique et magnétique resp ective ment_' tandis que_' D et B rep résentent resp ective ment le vecteur d ép lace ment électrique et l'induction magnétique. D ans une fib re optique_' on a J_l = 0 et p_l = 0 . D et B sont reliés a E et H p ar les relations :

D = e0E +P ii= u0H +M

( 2.2.a) ( 2.2.b)

M est le vecteur magnétisation et est nulle dans notre cas (l'usage des fibres a silice) ; on a la relation : e0 u₀ = 1 c ² oil c = 2, 9997 × 10 ⁸ m
· s ^-1 est la vitesse de la lumiére dans le vide ' alors

que e₀ et u₀ sont resp ective ment la p ermittivité électrique et la p erméab ilité magnétique du
vide. P est le vecteur polarisation ' ce d ernier est constitué d 'une polarisation linéaire P L et

d 'une polarisation non linéaire PAIL : P = PL + PAIL .

En p articulier_' la p artie linéaire est d onnée par :

S.V.P Ne pas distribuer / Please Do not distribute

~~~ ~

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

~~ ~

+? ~ - ~

= ~ -

1 0 '

? ? ~ i t t ~

?

P_L r t

, t t E r t e

' , dt ' 2.3

( )

0

-?

x⁽¹⁾ est la susceptib ilité électrique d e premier ordre.

La p artie non linéaire est plus co mp liquée. Il est suffisant pour notre objectif d 'approximer

P NL par :

~~ ~

( ) ( ) ( )

~~ ~

2

P NL r , t ? ? 0 ? NL E E r , t (2.4)

La non linéarité d e E _NL en E 2 rep résente la non linéarité de KERR²² dans une fibre mono mod e ; ici on a_' E _NL E ² = 2 n₂ E ² et n₂ est la p artie non linéaire d e l'indice d e

réfraction. En p renant le rotationnel de la première équation du systè me (2.1) et en utilisant les relations (2. 2)_' on a :

~~ ~~ ~~

2 2

? ~ ? ? ~

2

1 E P L P NL

( 2.5)

--
·2

u

2 2 0 ~ + ~

2 2

? ~ ? ? ~

? -

E =

c t t t

Nous consid érons que VD V(E₀ E).--0 ' car VE contrib ue seule ment aux ordres sup érieurs. Nous d éfinissons la transformée de FOURIER :

~ ~

( ) ( ) ( )

~ ~ - ~

i t

0 ~

, ? ? +?

F r

~ ? ?

- = ~ F r t e

, dt 2.6.a

( )

0 -?

~ 1 ~

+?

( ) ~ ( ) ( )

~ - - ~

i ? ? t

0 ~

F r t

, = ~ -

F r , ? ? e ~ d ? 2.6.b

( )

0

2 ? -?

w₀ est la fréquence princip ale. La transformée d e FOURIER (TF) est prise au regard de t associée a la variation w - w₀ de fréquence. En p renant la transformée de FOURIER d e l'équation (2.5) on a :

~ ' a

0 ~ I a ² +*.

AE + CO E = u₀ TF f eoz( 1 )( t , t )e [ ia( ")] + _t2 k0 e E]lNL 2

at2 J

.

car TF at 2 2 2 _m2 ,

=-co_o² P A m

É + 7 È =- 7 V( 1) É+ g _NL E)

_aF

c c

22

Voir annexe 2.

Tout si mple ment p arce que TF ( f * g ) = f * g~ ' on p eut égale ment simplifier en

consid érant le vecteur de propagation ? k ₀ =⁰et en p osant que :

c

E ? , E = 1 + ? ~ ? + ? ~ NL E 2.7

( ) ( ) ( ) ( )

2 1 ² ( )

O n ob tient :

~ AE+E

( ) ? , E k 0 E ~ = 0 2.8 2 ^2 ( )

Nous p ouvons effectuer une sép aration d e variables (x , y , z) de la maniere suivante :

- L'évolution du champ E le long d e la fibre p eut etre décrite suivant l'axe z (c'est cette dynamique là qui nous intéresse).

- L'évolution transverse du champ est représentée par la fonction F (x , y) .

O n écrit :

~

~ i z

0

E r

( ) ( ) (

, ? - ? = F x y W z

, ~ , ? - ? ) e ? 2.9

( )

0 0

oft fl₀ est le no mb re d 'ond e et r = (x, y , z) . En re mplaçant l'expression de E(r , (0-(0₀) dans l'équation (2.8) on aura^2B :

~
~~~

~

~~

~ a2 F a^2F axe ) x^2+ay2 +

( ( ( ) ( ) ) ) 2 k 2 1 1 + ? ? ? ~ - F = 0 2.10.a ( ) 0 0

~ 2 2 F a²* F

2k, -

W az 2 + W az

0 ( 2.10.b)

~ ~ =

~

- 2 n 2F ³ W

~

~

O n simp lifie la relation (2.10.b ) par F et on la multiplie par W				' ensuite on la divise par
-2' on ab outit a :
^23 Voir annexe 1
O0W -^1 - zz+ + n 2 0147 F ^2 k ^2 W- W		2 =
			0 2.11 ( )

Posons E ( Z , T ) W( z ,t) ' T = t - Az ' Z = z ; l'équation (2.11) d evient donc²⁴ :

2 AEZ + ^161 Ems.+ n 2 F ^2 k 0^2E 2	E	2=	0 2.12 ( )
O n divise cette relation (2.12) p ar 130 ' tout en sachant que O n aura :				1 ? ? 0 0 ? 0 = = = 20 c 2/1c

iE _Z + E _TT + 2zn ₂ F2w0 E

1⁶1²

2₁6₀

c

E 2 =

0 2.13

( )

2

O n p osera ₁32 =- ¹⁶¹ =-AZ) ' ofi

fl0

1

?₁ = ' v_g est la vitesse de group e du soliton. ₎0₂ et

g

v

iE Z + 13( 2Z) E TT + yE

E

2 = 0

( 2.14)

f(Z) representent le p rofil d e la disp ersion . F (x , y) est la distrib ution transversale dans la fib re ' ici (cas d 'une fib re monomode) co mp te tenu d e la symetrie cylindrique F (x, y) est constante tout le long du cceur de la fib re et contrib ue a definir le terme concernant la non

linearite cub ique ; on d efinit A_eff = 1 co mme etant la section du cceur d e la fib re qui varie

2AF²

entre 50 - 80 um ² aux longueurs d 'onde de 1_'55 um ' l'indice de refraction non lineaire n 2 = 3, 2 × 10^-16cm² /W et la frequence centrale w₀ de l'impulsion a une valeur de 1200Thz a

0

2 = 1,55um . O n considere d onc le coefficient non linéaire y = n 2 qui p our les fib res

cAeff

op tiques a des valeurs entre 2 et 30 W - 1 km^-1 [4].

En prenant en co mpte de tout ceci_' (2.13) devient :

₂₄ co

a a a

₂a

az = aZ ; az 2 -/31 a T2

2 2

L'équation (2.14) est l'équation S N L avec non linéarité cub ique²⁵ sans amp lification^2E. Quand on y ajoute l'amplification on a :

? ( )

Z 2

iE + E + ? E E = - i ? E 2.15

( )

Z TT

2

C ette dernière équation est l'équation p rincip ale^2F de notre analyse.

2 .2 Equation mod èle et paramètres de transmission

Nous co mmençons notre analyse avec l'équation mod èle de SCHRODINGER non linéaire (S N L) (2.15) p récéd ente qui inclut la disp ersion_' la non linéarité cub ique et l'amplification :

? ( )

Z 2

iE + E + ? E E = - i ? E 2.16

( )

Z TT

2

Le soliton envelop p e du champ électrique est E (Z , T) oil Z (mesurée en km) est la variable sp atiale de propagation et T (mesuré en ps) est le temps.

Les coefficients de p erte ou de non linéarité et d 'amplification sont resp ective ment d onnés par : 7 et a ; le coefficient de dispersion est représenté par ?(Z) .

Nous introduisons les variables adimensionnées : c = Z / z * ' 2 = T / t * ' Pav et

Q(4", 'r) = E(Z , T ) / P_* oil

P_* dénotent resp ective ment l'échelle de longueur

z * , t * , 1⁶ av , et

caractéristique_' l'échelle d e temps caractéristique ' la dispersion moyenne et la puissance
maximale. Nous d éfinissons les échelles d e longueur associées avec la dispersion ( _zflav ) et la

non linéarité ( zNL ) données par

zflav t / = * 2

1^6 av

et zNL = 1 / P* . Ainsi' nous définissons le pas

d 'amplification sans dimension par z _a = L_a / z_* . ici_' L_a est le pas d 'amplification en

²⁵ Elle est matérialisée par le terme en 7 .

²⁶ Généralement due à un apport extérieur, ceci pour pallier à l'effet de l'amortissement. Dans ce mémoire on considèrera - iaE dans le second membre de (2.14) pour matérialiser l'amplification :a est le coefficient d'amplification.

²⁷ On a eu à ignorer les filtres.

dimension de longueur et est égal a 40Km [1]. Avec ce change ment d e variab les_' l'équation (2.16) devient :

iQ 4. + d ( Z ) z* z* v-rr+ zNL 2 z fl av

Q

2

Q = - i FQ

( 2.17)

, _ia( Z)zfl_av

oft nous avons p osé d ( Z )= ₂ , z_*ot = F et on sait que z_NL = 1 / )4³.

t_*

Une forme plus convenante d e l'équation (2.16) est ob tenue en effectuant des calculs

[ 1 dg ( c) = -Fg( ()

2 d

c

supp lé mentaires : on prend Q(4^-, r) = g(4)u(4^-,r) qu'on re mplace dans (2.16)_' on forme deux équations dont l'une en g(4) et l'autre en u (4, r) ' ce qui nous raméne au systéme suivant :

( 2.17)

L

_W. d ( Z ) z_* z

u ,,,+* g ( c)u ²u=0 ^C+ 2 z fl zNL

av

Dans la deuxiéme relation de (2.17) le coefficient d e la non linéarité est la fonction p ériodique g(4) qui incorp ore de maniére implicite le coefficient d 'amplification. C ette fonction est relative au pas d 'amp lification sans dimension z_a et satisfait l'équation suivante:

dg

d4-

= - 2Fg ( 2.18)

S i on se trouve a l'amplificateur d e numéro d 'ordre n ' celui qui le suit directe ment est celui de numéro d 'ordre n+1_' par conséquent la fonction g p eut étre intégrée entre nz_a et

(n + 1 )z_{a '}c'est - a - dire que la grandeur adimensionnée 4^- varie entre ces deux b ornes :

nz a < 4 < ( n + 1 )z_a ( 2.19)

O n aura

fg

0 g( ) g dg ( y4) = - 2 FI^C d ` l4<sup>g</sup> )= - 2F(` - nz_a)
nzag0

En prenant l'exp onentiel des deux me mb res de cette relation on a :

g = g₀ exp [- 2F(` - nz_a )]

Pour une convenance d 'écriture_' on consid érera p our la suite que : 4 z et r --> t ' ce qui nous p ermet d 'écrire l'expression explicite d e g (4) :

g z = g exp ~ - 2 ? z - nz a ~ , nz a ? z ? n + 1 z a 2.20

( ) 0 ( ) ( ) ( )

~ ~

La valeur d e g _max est telle que la valeur de g ( z) pour une p ériod e sp atiale z_a soit égale a 1 : (g ( z) )= 1 la g( c) dc =1 1 la g₀ exp[ - 2r( c - nz_a )] d4^- =1

z a 0 z_a 0

L'intégration conduit a :

1

g 0 [ exp

z_a

1^-

2

z a g

[ ( ) ] ~ 0 2

2 nz 1 [ e 2 nz 2 nz

- ? -

? = ~ - e - ? z ? ?

a

a a a

? - e ] 1

=

a ~~ 2 ? z

0

Pour cela on d oit consid érer qu'entre deux amplificateurs successifs n=0 donc on aura :

g 0 21^-z

21^-z ( ) 2 z a - e - ? a 1 = ~ = 1 g 0 a 1- exp( -^21"za )

.

O n a en so mme :

( ) 2

2 ? z a

g z = ? ~ - ? - ~

exp 2 ( )

z nz , 1 2.21

nz z n z

? ? +

( ) ( )

z a a a

a

1 - _e- ? ~ ~

A cause du fait que nous aurons a étab lir la condition de résonance du Mélange a quatre ond es (FWM) associée au cycle d 'amplification_' on utilise souvent [2_'3] l'extension en série de FOURIER d e g ( z) :

+Da

g ( z) = E g _max exp ( -ink _az) ( 2.22)

n

=-0

dz

1 z a

oil k a = 27c/ z_a est le no mb re d 'onde caractéristique ; et g max = f g( n = 0, z)e^inkaz

za 0

Ici le terme g (n = 0, z) provient de la relation (2.21) :

g n z g e - ?

( )

= = 2 z

0, 0

C e qui conduit a l'expression suivante^2M :

g	max = I"z a - inz rza ( 2.23)

Pour arriver a réaliser un équilib re entre les termes disp ersif et non linéaire_' on choisit nos paramétres d e la maniére suivante : z * = zfl av = z_NL .

C ette analyse nous p ermet de p rendre co mme modéle l'équation d e S N L découlant d e la deuxiéme relation du systéme (2.17):

u + g z u u =

( ) ² 0 2.24

( )

tt

2

iu _z + d

( z)

oft on a effectué le change ment C z et r --> t . O n note que d ( z ) = (d) + F( z) oft (d) est
la dispersion moyenne et F ( z) est une fonction donnée. Tout au long de ce travail_' on va
consid érer que (d) 1 . Dans les sections et chap itres suivants on étudiera les cas oft

F ( z ) = 0 et F(z)# 0 .

Lorsqu'on p ose^2H g ( z ) = 1 et F ( z ) = 0 ' l'équation (2.24) d evient :

1

iu _z + ₂u_tt + u

0 2.25

( )

2

u=

Pour d éterminer la forme des solutions solitons de cette équation (2.25)_' on pose

u ( z , t ) = Af( z ,t ) exp[im( z ,t )]

qu'on re mplace dans la dite équation. O n ob tient 3K:

i

( ) ( ) ( )

~ ~

2

u z t A h A t z T 2

( , ) sec

= ~ - ? + ~ exp exp ( )

~ ~ ~ A - ? z ?

i t 2.26

~

~ 2 ~

N ous tracons cette solution soliton en 3 dimensions³¹ sur la figure 2.1 suivante :

²⁸ Voir annexe 1.

²⁹ Cas des fibres optiques sans pertes, les solutions solitons sont donc des solitons idéals.

³⁰ Voir annexe 1.

Ici_' A est l'amp litud e du soliton_' T est la p eriode te mp orelle et n = Ac2t*2 ^All est la frequence³² du soliton_' c est la vitesse d e la lumiere_' t_* est l'echelle de temps caracteristique

precedemment d efinie_' 'lest la longueur d 'onde du soliton et A2 denote la largeur du canal de la fibre.

Dans ce travail_' nous p rendrons les valeurs des parametres d e transmission co mme vues a la reference [1].

Ici le no mb re 1_'763 represente la moitie d e la largeur maximale du soliton ideale [1]. S i

on prend n = 3,9 on aura ? = 0, 62 × 10 - 9 m = 0,62 nm

? car

? 2

? =

? ?

.

Tct

*

Figure 2.1 Evolution de l 'amplitude de la solution soliton (2.26 ) en fonction d e z et de t O n a eu a prendre pour cette figure A=1_' SI = 3 . 9 ' T=O.

Bien silr ici z et t sont sans dimensions_' il en est d e méme pour l'amp litude de la solution soliton.

O n note sur la figure 2.1 que la solution soliton ainsi représentée selon l'évolution sur le temps t_' a la forme (profil du soliton suivant z) d 'un soliton type 0 pulse » (soliton envelopp e). O n observe alors une croissance de la norme de -5 a 0 et une décroissance (symetrique a la croissance par rapport a 0) de 0 a 5 suivant z_' ceci_' quelque soit t.

³¹ La norme par rapport à la distance z et au temps t

³² Voir référence [4].