I.2.4 Autres fonctions d'utilité
4 Fonction d'utilité linaire : U(R) = a
+ b.R (13)
tel que AA(R)=AR(R)=0
Les aversions au risque sont explicitement nulles, pour cette
raison la fonction d'utilité linéaire est désigné
comme étend utilité à risque-neutre.
4 Fonction d'utilité logarithmique :
U(R) = ln(R) (14)
1
tel que AA(R)= et AR(R) = 1
R
Cette fonction d'utilité est caractérisée
par une aversion relative constante.
Ce type d'utilité est mis en place lors de la
résolution d'un problème d'optimisation non linéaire avec
contrainte dans un modèle multi périodique.
4 Fonction puissance d'utilité : U(R) R
á
= (15)
avec á désigne le paramètre
d'aversion au risque et y compris entre 0 et 1. AA(R) á
1 -
= et AR(R)=1-á
R
On remarque que l'aversion relative est indépendante de
la richesse, et si á =1, cet individu est neutre au risque.
4 Fonction d'utilité exponentielle :
U(R) ë
1 - . R
= - e (16)
ë
AA(R) =ë et AR(R) =ë.R
Cette fonction d'utilité est caractérisée
par une aversion absolue constante.
Pratiquement, le choix entre ces fonctions d'utilité
dépend à la fois de la situation particulière actuelle et
la méthodologie suivie dans les calculs.
La résolution de la maximisation d'utilité
espérée, devient aujourd'hui plus simple grâce à la
mise en place de l'une des fonctions d'utilité donnée.
Kallberag et Ziemiba (1983) ont prouvé par une
comparaison entre les différentes fonctions d'utilités que ces
fonctions affectent la composition du portefeuille optimal, et que tous les
investisseurs qui possèdent la même aversion au risque absolu vont
choisir les mêmes portefeuilles optimaux. On rappelle que le portefeuille
optimal est celui qui maximise l'espérance d'utilité sur une
durée de temps bien définie.
-1
-
2
0 0
2
3
1
Utilité
Richesse
Quadratique Linéaire Exponentielle Puissance
Logarithmique
Figure (1) (1) : Les différentes fonctions
d'utilité.
I.3 Aversion aux pertes
Dans cette partie, nous allons essayer d'expliquer les
décisions des investisseurs à travers la notion d'aversion aux
pertes. Mais tous d'abord, il faut avoir en tête que le mot perte
désigne à la fois les pertes et les manques à gagner.
En effet, la théorie classique de l'utilité
prévue suppose que les investisseurs prennent des décisions d'une
manière objective et rationnel en s'appuyant seulement sur des
probabilités affectés en fonction des informations disponibles et
que leurs préférences sont stables. Néanmoins, plusieurs
psychologues comme Kahneman et Tversky (1979) ont donné la preuve que la
psychologie comportementale put être une cause de la divergence entre la
perte approximé théoriquement et la perte réellement
scruter.
Kahneman et Tversky (1979) expliquent l'aversion aux pertes
par l'habilité d'un investisseur de payer davantage pour éviter
l'augmentation d'un risque ce que permet de réduire un risque
déjà subi dans les mêmes proportions
Il est important de signaler que l'aversion aux pertes de
chaque gérant du portefeuille, ces sanctions ainsi que les erreurs
d'estimation effectuent directement ses décisions. En outre un
investisseur averse aux risques de perte, favorise une perte non certaine toute
en essayant d'éviter les pertes certaines.
(1): FABOZZI et al. (2006). Financial Modeling
of the equity Market: from CAPM to cointegration .Wiley Fiance. pp 45.
Daniel Kahneman obtint le Prix Nobel en 2002 sur ses recherches
concentrées sur le comportement des investisseurs dans les situations
incertaines.
En fait, Tversky et Kahneman (1991) dans leur théorie des
prospectives soulignent trois hypothèses fondamentales :
4 « losses loom larger than corresponding gains
» une perte est perçue de manière deux fois plus
déplaisant qu'un gain.
4 L'investisseur tend à surpondérer les
évènements rares dans sa décision, autrement dit payer une
prime d'assurance bien trop élevée par rapport au risque
réel encouru.
4 Chacun investisseur défini une référence
« statu quo » à partir du quelle il évalue les gains et
les pertes.
On peut déduire de ces trois hypothèses qu'il y a
souspondération pour les probabilités élevées et
surpondérées pour les probabilités faibles.
En outre, l'effet de surpondération est plus important que
l'effet de souspondération.
Tversky et Kahneman (1991) ont prolongé les notions des
points de référence et l'asymétrie de perte de gain aux
tâches bien choisies à plusieurs attributs ayant des solutions de
rechange qui ne peuvent pas être assignées des probabilités
explicites.
Tout changement significatif par rapport à la statue
référentielle met l'investisseur face à un risque de
perte. De ce fait, par rapport à un cours de référence,
cet investisseur opte comme stratégie de ne pas vendre les titres
perdants en se limitant à vendre les titres gagnants afin de ne pas le
regretter si le cours baissera.
« l'aggravation que celle-là éprouve en
perdant une somme de l'argent semble être plus grand que le plaisir
lié à gagner le même montant... d'ailleurs, le degré
d'aversion croit d'une manière symétrique avec la taille des
enjeux » (Kahneman and Tversky, 1979, p: 279).
C'est que signifie que l'aversion de perte se rapporte au
traitement asymétrique des profits et des pertes relativement à
un point de référence : résultats qui sont perçus
pendant que des pertes sont éprouvées plus profondément
que des résultats perçus comme gagne.
Valeur marginale des gains et des pertes
Gain
Perte
Figure (2): Valeur marginale des gains et des
pertes
Dans ce graphique, on montre que l'aversion aux pertes se
rapporte au traitement asymétrique des profits et des pertes
relativement à un point de référence fixé :
autrement dit, un investisseur se comporte d'une asymétrie dans la prise
de risque face à des perspectives de gains ou de pertes.
Bleichrodt et al. (2006) ont montré par une
expérimentation que la fonction d'utilité pour les gains est
concave et qu'elle est convexe pour les pertes. De plus, ils ont
dévoilé que les hommes sont moins averses aux pertes que les
femmes, de plus l'investisseur tend à prendre une quantité de
risque plus élevé en fin de journée dans l'espoir de
rééquilibrer son portefeuille.
Un investisseur averse aux pertes ne vendait jamais un titre
perdant, mais il attend une situation plus performant. Cependant dans quelle
ampleur serai le coût suite à la détention d'un titre
perdant un certain laps ?
Pour corriger cet aversion aux pertes, il faut effectuer des
modifications structurelles sur la manière d'appréhender le
portefeuille tel que le fait de concrétiser les gains d'une part et
à ne jamais concrétiser les pertes d'autre part, mais
également il faut être prudent quant à la notion du
référentielle, puisqu'un tel événement est
disparu.
Si on opte l'hypothèse que les anticipations de
rentabilité des investisseurs sont homogènes mais pas
nécessairement qu'ils possèdent les mêmes degrés
d'aversion pour le risque, dans ce contexte, tous les investisseurs choisissent
le portefeuille de marché qui regroupe tous les actifs disponibles sur
le marché, néanmoins cette pensée théorique reste
quasi impossible de l'épier sur un plan concret.
Peut-on réduire le risque global, dans un portefeuille,
pour un niveau optimal des titres ? La réponse est positive et c'est
à travers la construction d'une combinaison optimale entre le rendement
et le risque. Cette technique est connue sous le non de la diversification.
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