I.2.2 Propriété des fonctions
d'utilité
Chaque investisseur possède sa propre fonction
d'utilité qui fait correspondre à chaque panier de biens, ou
chaque portefeuille, un nombre réel.
Schématisé par une courbe d'indifférence
sur un plan (rendement - risque), cette dernière représente
l'ensemble des portefeuilles avec différentes combinaisons du risque et
du rendement espéré pour les quelles tout investisseur conserve
la même préférence et le même niveau de satisfaction.
Par le biais de sa fonction d'utilité, on mesure la satisfaction d'un
investisseur associée à un niveau donné de la richesse.
Donc, la fonction d'utilité reflet le niveau de
préférence pour différents degrés de fortunes.
Un investisseur rationnel, qui opte à
sélectionner un portefeuille optimal, dispose une fonction qui
évolue dans le même sens avec la rentabilité et d'une
manière inverse avec le risque.
U»(x) : aversion U»(x) > 0 preneur de risque
(courbe convexe).
U»(x) = 0 attitude indifférente.
U»(x) < 0 aversion au risque (courbe concave).
Une fonction d'utilité croissante (U'(x) > 0) ayant
également une utilité marginale croissante décrit
l'attitude d'un individu averse au risque. Pour mesurer ce degré
d'aversion au risque on introduit :
-L'aversion absolue AA(R) = -U `'(R) / U'(R) avec R
désigne la richesse.
Dans ce contexte, il a été
démontré qu'une aversion absolue au risque croissante (constante,
décroissante) en R, amène à une valeur détenue de
titres risqués décroissante (constante, croissante) avec la
richesse.
-L'aversion relative AR(R) = -R. [U `'(R)/U'(R)] avec R
désigne la richesse.
De même, une aversion relative au risque est croissante
(constante, décroissante) en R, amène à un pourcentage
détenue de la valeur de titres risqués décroissante
(constante, croissante) avec la richesse.
I.2.3 La fonction d'utilité quadratique
b
Dans le cadre d'un modèle de Markowitz, un investisseur
choisit un certain panier désiré entre le risque et la
rentabilité. Cette relation de préférence peut
également être exprimée par la fonction d'utilité
suivante :
U(R) = R - Tel que b > 0 (10)
R 2
2
b
AA(R)= (11)
1 - bR
bR
AR(R) avec b
= R < 1 (12)
1 - bR
Chamberlain (1983) a démontré que dans le cas
des distributions elliptiques, la fonction d'utilité quadratique offre
des approximations exactes pour plusieurs fonctions d'utilité standard.
Cette approche suppose que tous les rendements des titres suivent une
distribution normale, ce qui rend simple le choix du portefeuille optimal.
A ce propos, il est intéressant de s'interroger si les
deux premiers moments ont l'aptitude de synthétiser de façon
adéquate l'information quantitative sur le rendement. Pour cela,
plusieurs fonctions d'utilité sont mises en place.
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