2.3 Modèle de Black-Scholes
2.3.1 L'équation aux dérivées
partielles de Black-Scholes
Dans cette section, nous aborderons la démonstration de
l'équation aux dérivées partielles de Black-Scholes pour
une action ne versant pas de dividendes
Le processus suivi par l'action est un mouvement brownien
géométrique, caractérisé par l'équation :
dS = uSdt + óSdz
(2.2)
Notons f le prix d'une option d'achat ou de tout autre
produit dérivé lié au titre S. La variable f
est alors une fonction de S et t. En utilisant la
formule d'Itô nous déduisons la relation suivante :
df = (?f?2f
?SuS+ ??t f +
1?S2ó2S2)dt
+ ? f
?SóSdz (2.3)
2
Sous leur forme discrète, les équations (2.2) et
(2.3) s'écrivent :
OS = uSOt + óSOz
(2.4)
et
O f = (?fuS+ ?f +
1 ?2ó2S2)Ot+
?f crSOz (2.5)
?S ?t 2 ?S2?S
où OS et Of représentent les
variations de f et S pendant un court intervalle de temps de
longueur Ot. Les variations aléatoires de f et S
sont gouvernées par le même processus de Wiener. En d'autres
termes, les Oz des équations (2.4) et (2.5) sont identiques.
Ainsi, en choisissant un portefeuille composé d'une action et de l'un de
ses produits dérivés, la composante aléatoire peut
être éliminée.
Un portefeuille approprié peut être défini de
la façon suivante :
Vente d'une unité su produit dérivé.
Achat de ??Sf action.
Le détenteur du portefeuille est alors en position
courte (vendeur) sur le produit dérivé et en position longue
(acheteur) sur ?f/?S actions. La valeur du portefeuille,
notée H, s'écrit
alors :
? f
H = -f + ?SS (2.6)
La variation OH de la valeur du portefeuille au cours d'un
intervalle de temps Ot est donnée par :
? f
OH = -Of + ?SOS (2.7)
En substituant O f et OS, dans
l'équation (2.7), par leurs valeurs, nous obtenons :
OH = (-?f- 1 ?22
252)Ot (2.8)
?t 2 ?S2
cette équation ne comporte pas l'expression
Oz, le portefeuille doit être sans risque pendant l'intervalle
de temps Ot. Les hypothèses énoncées à la
section précédente impliquent qu'un tel portefeuille doit
procurer une rentabilité égale au taux sans risque. Dans
le cas contraire, les investisseurs profiteraient d'une
opportunité d'arbitrage. Nous pouvons donc écrire :
OH = rHOt (2.9)
où r représente le taux sans risque.
Si nous remplaçons les termes H et OH de cette équation par leurs
expressions données dans les équations (2.6) et (2.8), nous
obtenons :
(af+1a2fcr2S2)Ot=r af
Ot
at 2 aS2 (f aS) (2.10)
et donc :
af +rSaf +
1cr2S2a22
= rf (2.11)
at as 2 aS
L'équation (2.11) est l'équation aux
dérivées partielles de Black-Scholes. Cette équation a
plusieurs solutions correspondant à tous les produits
dérivés qui peuvent avoir S comme actif sous-jacent. La
solution de l'équation dépend alors des conditions aux bornes qui
caractérisent le produit dérivé considéré.
Ces conditions précisent les valeurs de l'actif dérivé
analysé aux bornes des ensembles de valeurs possibles de S et
t.
Par exemple, dans le cas d'un call Européen, la condition
aux bornes est :
f = max(S - K; 0), quand t =
T Dans le cas d'un put Européen, elle s'écrit :
f = max(K - S; 0), quand t =
T
Notons que 1e portefeuille utilisé dans la
dérivation de l'équation (2.11) n'est pas un portefeuille sans
risque de façon permanente. Il est sans risque uniquement pendant un
intervalle de temps infinitésimal. En effet, dès que S
et t varient, af /aS varie aussi. Ainsi, afin
de conserver le caractère non risqué du portefeuille, il est
nécessaire d'ajuster fréquemment les positions relatives de
l'action et du produit dérivé au sein du portefeuille.
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