Chapitre 2
Pricing des options Européennes sur
devises
Pour évaluer les options sur devises, nous avons besoin
d'un modèle pour les taux de change au comptant qui leur permet d'avoir
un comportement stochastique et une stricte positivité. Nous suivons
donc les travaux de Black et Scholes (1973) et les travaux
associés de Garman et Kohlhagen (1983) appliqués aux
options sur devises, et décrivons le taux au comptant par un mouvement
Brownien géométrique:
dSt = uStdt + óStdWt (2.1)
2.1 Notations et hypothèses
Notations
Nous utiliserons dans ce chapitre et dans toute la suite de ce
rapport les notations suivantes:
-- S0 : Le taux de change à la date t =
0.
-- K : Le prix d'exercice de l'option.
-- T : Le temps restant à courir jusqu'à
l'échéance de l'option.
-- St : Le taux de change à l'instant
t.
-- rd : Le taux sans risque domestique.
-- rf : Le taux sans risque étranger.
-- c : La valeur d'un call Européen.
-- p : La valeur d'un put Européen.
-- C : La valeur d'un call Américain.
-- P : La valeur d'un put Américain.
Hypothèses
Les hypothèses de ce chapitre sont valides pour reste
de ce rapport sauf mention contraire, elle sont les mêmes
hypothèses citées dans la section 15.5 de Hull (2017) [14].
-- Le taux de change aux comptant St (en devise
domestique) d'une unité de devise étrangère suit un
processus lognormal (2.1), conduit par une volatilité constante
ó.
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-- La vente à découvert est autorisée.
-- Absence de frais de transaction et de taxes.
-- Les devises domestique et étrangères ont des
taux sans risque rd et rf, constants sur
toutes les échéances.
-- Absence d'opportunités d'arbitrage.
-- Le marché fonctionne en continu.
2.2 L'évaluation risque-neutre
Le principe d'évaluation risque-neutre stipule que,
lors de la valorisation d'un dérivé, nous pouvons supposer que
les investisseurs sont indifférents vis-à-vis du risque; par abus
de langage, on dit qu'ils sont risque-neutre. Cette hypothèse signifie
qu'ils n'exigent pas une espérance de rentabilité
supérieure pour compenser le risque accru d'un investissement. Un monde
où les investisseurs sont neutres vis-à-vis du risque est
appelé univers risque-neutre. Celui dans lequel nous vivons n'est
évidemment pas un univers risque-neutre. Plus les investisseurs prennent
de risques, plus ils exigent un taux de rentabilité élevé.
Cependant, il s'avère que l'hypothèse d'un univers risque-neutre
fournit une valeur des options identiques à celle que l'on obtiendrait
dans notre univers réel. Cela résout le problème
lié au fait que nous ignorons quasiment tout degré d'aversion au
risque des acheteurs et des vendeurs d'options.
L'évaluation risque-neutre semble un résultat
surprenant lorsqu'on l'aborde pour la première fois. Les options sont
des investissements risqués. Le degré d'aversion au risque d'un
investisseur ne devrait-il pas affecter la façon dont elles sont
évaluées? La réponse est qu'en réalité,
lorsque nous évaluons une option en fonction du prix du sous-jacent, le
degré d'aversion au risque n'a aucune importance si le prix du
sous-jacent est un prix d'équilibre. Lorsque les investisseurs
deviennent plus "riscophobes", le cours baisse, mais les formules
évaluant le prix des options restent inchangés [14].
Un univers risque-neutre présente deux
caractéristiques qui simplifient l'évaluation des produits
dérivés:
-- La rentabilité espérée de tous
investissement est le taux sans risque.
-- Le taux d'actualisation utilisé pour
l'espérance des flux procurés par une option est le taux sans
risque.
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