6.2.2 Le modèle STARTZ Smooth Transition
Autoregressive Target Zone
Nous cherchons à estimer par ce modèle,
l'écart yt du taux de change par rapport au taux
de référence, avec t = 1, 2 ,
T. Les limites inférieure et supérieure sont
notées sL et sU
respectivement.
Nous suivons Lundbergh et Teräsvirta (2005)
[22], qui ont développé un modèle qui permet un
changement de dynamique de la moyenne conditionnelle et la variance
conditionnelle lorsque le processus s'approche de la limite de la zone
cible.
Le degré de changement de la moyenne et de la variance
conditionnelles dépend de façon
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non linéaire de la distance entre la valeur du
processus et le centre de la bande de fluctuation. Une hypothèse
similaire sur la dynamique du processus des séries temporelles a
été formulée par Bekaert et Gray (1998) [4]
et Forbes et Kofman (2000) [11] qui introduisent une variable
caractérisant la position du processus dans la bande de fluctuation.
Le modèle de Lundbergh et Teräsvirta (2005)
est le suivant :
yt = mt + et (6.8)
avec
p
et = zt ht (6.9)
où zt ~ iid(0, 1) et ht la
variance conditionnelle de et.
La moyenne conditionnelle mt est définie par :
mt =
ö'xt
+ (usL -
ö'xt)GL(yt-1,
ãa, èa,
usL) + (usU -
ö'xt)GU(yt-1,
ãa, èa,
usU) (6.10)
avec xt = (1, yt-1, ,
yt-n)0 est un vecteur d'interception-retard de
dimension (n + 1) et
ö = (ö0,
ö1, , ön)0 est le vecteur de
paramètres correspondant. Le vecteur xt
contient
implicitement toute l'information à propos du fondamental
à l'instant t = 1.
Les fonctions GL et GU
représentent les fonctions de transition, elle ont la forme suivante
:
1
GL(yt-1, ã,
è, c) = ã > 0, è >
0
(1 +
e-ã(c-yt-1))è
1
GU(yt-1, ã,
è, c) = ã > 0, è >
0 (6.11)
(1 +
e-ã(yt-1-c))è
avec yt-1 est la variable de transition,
et ã, c et è sont les
paramètres de pente, de localisation et d'asymétrie,
respectivement. De plus, sL et sU
définissent les frontières inférieure et supérieur
de la bande de fluctuation, donc c = usL et c
= usU sont les paramètres de localisation dans
(6.10).
GL et GU sont des
fonctions logistiques généralisées (Sollis, Leybourne
et Newbold (1999) [27]). Le paramètre è est
introduit pour l'asymétrie possible dans le processus de transition.
Lorsque è = 1, les fonctions dans les équations (6.11)
changent de façon monotone de 0 à 1, le changement étant
symétrique autour de c. Sollis et al. (1999)
soulignent que lorsque l'on s'approche de zéro, une
asymétrie extrême est générée. Pour
ã > 0 et è < 1, une transition commence
plus lentement qu'elle ne se termine, mais c'est le contraire pour ã
< 0. La vitesse de transition de yt-1 dépend
de la valeur de ã. Notons que :
?GL(yt-1, ã,
è, c) = è(c -
yt-1)(1 +
e-ã(c-yt-1))-(è+1)e-ã(c-yt-1)
?ã
et la valeur de la fonction logistique
généralisée augmente à fur et à mesure que
ã augmente si yt-1 < c. Par
conséquent, une grande valeur de ã est associée
à une transition rapide dans la dynamique du processus yt.
Le paramètre u, avec 0 < u < 1,
ajoute une flexibilité au modèle et permet d'estimer une bande de
fluctuation implicite à l'intérieur de la bande de fluctuation
officielle. Le paramètre de pente ãa > 0
et le paramètre d'asymétrie èa > 0
nous indiquent le niveau de la variation
82
du comportement dynamique local du taux de change lorsque l'on
passe du centre de la bande de fluctuation au voisinage de l'une ou l'autre des
frontières.
La moyenne conditionnelle (6.10) a l'interprétation
suivante. Près du centre de la bande de fluctuation, le comportement du
taux de change est caractérisé, au moins approximative-
ment, par une combinaison linéaire de ses retards,
cp'xt en tant que
GL 0 et GU 0.
Proche de la limite
supérieure et inférieure de la bande de fluctuation, le taux de
change dépend non linéairement de xt.
Par exemple, dans le cas où le taux de change se rapproche de la
frontière supérieure, GU 1 et il y a une
transition de comportement autorégressif, représenté par
cp'xt, vers un comportement
de type "bruit blanc" autour de usU. Évidemment la
quantité 1 - u > 0 est petite. La vitesse de transition est
déterminée par ãa et
èa. Quand le taux de change s'approche de la
frontière inférieure, GL 1 et une conclusion
similaire s'ensuit.
Selon les modèles théoriques de bande de
fluctuation, la variance conditionnelle doit avoir une distribution en forme de
n, car la variance conditionnelle du processus doit être faible
à proximité des frontières si la bande est supposée
crédible. Lundbergh et Teräsvirta (2005) [22] ont
paramétré cette exigence d'une manière similaire à
celle appliquée à la moyenne conditionnelle. L'écart
conditionnel se présente sous la forme "GARCH local" suivante :
ht = rl'wt +
(ä -
rl'wt)GL(yt-1,
ãb, èb, usL) + (ä -
rl'wt)GU(yt-1,
ãb, èb, usU) (6.12)
où rl = (á0,
á1, ... , áq, â1, . .
. , âp)' et wt = (1,
e2t-1, . . . ,
e2t-q, ht-1, . . . ,
ht-p)'. En supposant que ä > 0 avec les
restrictions á0 > 0, áj > 0,
j = 1, 2, ... , q; âj > 0, j = 1,
2, ... , p; sont suffisantes pour la positivité de la variance
conditionnelle. De plus, et = yt - mt de sorte que cp
est supposé indépendant de
rl. L'équation (6.12) implique que la variance
conditionnelle est une fonction non linéaire des éléments
de wt. Par exemple, dans le cas où
l'écart par rapport au cours de référence augmente de
telle sorte que GU -* 1, il y a une transition d'un
comportement standard de type GARCH représenté par
rl'wt vers une constante
ä > 0 qui devrait être proche de zéro.
Bien que le modèle STARTZ vise à
modéliser des taux de change à l'intérieur d'une bande de
fluctuation, il ne s'ensuit pas que le taux de change reste à
l'intérieur de la bande avec une probabilité de 1. Près de
la frontière, la variance conditionnelle du modèle STARTZ est
faible mais toujours positive, comme ä > 0 : Ainsi, un choc
tel que le taux de change franchit la frontière de la bande a une
probabilité positive. Ce n'est pas irréaliste, même
lorsqu'il n'y a pas de réalignement, le taux de change peut
momentanément sortir de la bande de fluctuation avec une faible marge et
être rapidement ramené à nouveau.
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