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Le marché de change marocain. évaluation et couverture des options européennes et américaines de change et modélisation du taux de change du dirham.par Youness TOUFIK Ecole Mohammadia d'Ingénieurs - Diplome d'ingénieur en modélisation et Informatique Scientifique 2019 |
5.2.2 Optimal Delta HedgingLe delta est de loin le paramètre de couverture le plus important et heureusement, c'est celui qui peut être le plus facilement ajusté car il ne nécessite qu'un achat/vente de l'actif sous-jacent. Depuis la naissance des marchés d'options négociés en bourse en 1973, la couverture delta a joué un rôle majeur dans la gestion des portefeuilles d'options. Les traders en options ajustent fréquemment le delta, le rendant proche de zéro, en négociant l'actif sous-jacent. Plusieurs chercheurs et praticiens on remarqué que le delta du modèle de Black-Scholes ne minimise pas la variance des changement de la valeur de la position d'un trader. Cela est dû au fait qu'il existe une corrélation non nulle entre les mouvements du prix de l'actif sous-jacent et les mouvements de la volatilité de cet actif. John Hull et Alan White (2017) [15] proposent une nouvelle approche pour optimiser la couverture des option, appelée Minimum Variance Delta qui tient compte à la fois des changements de prix et de la variation attendue de la volatilité conditionnée par un changement de prix. Dans cette section nous allons reprendre les travaux de John Hull et Alan White (2017) [15] et nous les appliquerons sur les options sur l'EURUSD. Nous allons présenter d'abord la théorie de ce modèle, puis le choix des données sur lesquelles nous allons tester le modèle, et enfin les résultats et la discussion de ces résultats. Étude théorique Dans le modèle de Black-Scholes, le prix de l'actif sous-jacent suit un processus de diffusion avec une volatilité constante. De nombreuses alternatives au modèle Black-Scholes ont été développées pour tenter d'expliquer les prix des options qui sont observés dans la pratique. Il s'agit de la volatilité stochastique, des sauts dans le prix de l'actif ou de la volatilité, de l'aversion au risque, etc. Dans cette section nous allons présenter l'approche théorique pour la détermination du Minimum Variance Delta, äMV, à partir du delta du modèle de Black-Scholes, äBS. Définissons ÄS comme une petite variation du prix du sous-jacent et Äf la variation correspondante du prix de l'option. Le Minimum Variance Delta, äMV, est la valeur qui minimise la variance de : Of = äMVOS (5.6) La volatilité implicite est définie comme la volatilité qui, lorsqu'elle est insérée dans la formule de Black-Scholes, donne un prix qui est égal au prix du marché de l'option. Supposons que nous observions le prix d'une option, f, lorsque le prix du sous-jacent est S. La volatilité implicite est définie implicitement par : f = fBS(S, óimp) (5.7) où fBS est la fonction d'évaluation du modèle de Black-Scholes et óimp est la volatilité implicite. La fonction d'évaluation de Black-Scholes est continue et continuellement différen-tiable. Un développement en séries de Taylor au premier ordre de l'équation (5.7) donne : ? fOf = ?S + ?~f Oóimp + O(OS2) p ce qui est équivalent à : Of = äBSOS + íBSOóimp + e (5.8) avec äBS et íBS sont le delta et le vega du modèle de Black-Scholes et e désigne les termes résiduels d'ordre supérieur dans le développement en séries de Taylor. En substituant äMVOS des deux côtés de l'équation (5.8) on obtient : Of - äMVOS = (äBS -
äMV)OS + íBSOóimp + e (5.9)
Dans le cas des processus de diffusion, lorsque OS se rapproche de zéro, le dernier terme est infinitésimal, de ce fait :
ce qui conduit à : äMV = äBS + íBS (5.10) ?E(óimp) ?S avec E(óimp) est l'espérance de la volatilité implicite en fonction de S. John Hull et Alan White montrent qu'on peut approximer E(Oóimp) par : E(Oóimp) = (a + bäBS + cäBS) OS vT S avec a, b et c des constantes que nous cherchons à déterminer. Nous avons donc : 67 äMV = äBS + SBT (a + bäBS + cä2BS) (5.11) Nous commençons par une implémentation basée sur l'équation (5.6) appliquée aux variations quotidiennes des prix : Of = äMVOS + e (5.12) Le seul élément inconnu dans le modèle est l'équation quadratique en äBS dans l'équa-tion (5.11). Nous estimons les paramètres du modèle, a, b et c, en utilisant un modèle de régression basé sur les équations (5.12) et (5.11). 68 Of - äBSOS = S~T(a + bäBS + cä2BS) + e (5.13) avec O f est la variation journalière du prix de l'option, OS est la variation du prix de l'actif sous-jacent correspondante, T est le temps jusqu'à la maturité, et äBS et íBS sont le delta et le vega du modèle de Black-Scholes. Nous allons estimer le Minimum Variance Delta en utilisant les données historiques des option, ensuite, nous utilisons cette estimation pour réduire la variance de l'erreur de couverture au futur. Le modèle est ajusté pour toutes les option sur une période considérée, les trois coefficients â, bà et cà obtenus pour cette période vont être utilisés pour la couverture de l'option pour le jour suivant. L'erreur de couverture en se basant sur ce modèle est : eMV = Of - äBSOS -SAT (â + bäBS + M2BS) L'erreur de couverture en se basant sur le modèle de Black-Scholes est : eBS = O f - äBSOS Lors de la présentation de nos résultats, nous définirons l'efficacité d'une couverture comme le pourcentage de réduction de la somme des carrés des résidus résultant de la couverture. Nous désignons le Gain d'une couverture Minimum Variance comme le pourcentage d'aug-mentation de l'efficacité d'une couverture Minimum Variance par rapport à l'efficacité de la couverture par le modèle de Black-Scholes. SSE(Of - äMVOS) Gain = 1 - (5.14) où SSE désigne Sum of Squared Errors. ce qui est équivalent à : SSE(eMV) Gain = 1 - SSE(eBS) Data Pour notre analyse, nous avons utilisé les option sur l'EURUSD. Nous avons extrait les données depuis https://fr.investing.com/currencies/eur-usd-historical-data, les données s'étendent du 22 Avril 2019 au 20 Mai 2020. Le prix, le delta et le vega de chaque option ont été dérivés du modèle de Black-Scholes en utilisant la volatilité implicite de cette option, donnée par le modèle de Vanna-Volga, comme étant le paramètre de volatilité. Nous définissons Initial Moneyness d'un contrat comme étant le ratio suivant: K Initial Moneyness = S0 où K est le strike du contrat et S0 est le prix spot du sous-jacent à la date de début du contrat. Nous considérons que les calls en dehors de la monnaie (OTM) et les puts dans la monnaie (ITM) ont une Initial Moneyness supérieure strictement à 1; les calls et les puts à la monnaie (ATM) ont une Initial Moneyness égale à 1; et les calls dans de la monnaie (ITM) et les puts en dehors la monnaie (OTM) ont une Initial Moneyness inférieure strictement à 1. En outre, les contrats d'options à court terme sont des options dont la durée de vie totale est inférieure ou égale à 3 mois et les options à long terme sont des options dont la durée de vie totale est supérieure à 3 mois. TABLE 5.9 - Nombre de contrats utilisés en fonction de leur Moneyness et de leur échéance.
69 FIGURE 5.11 - Évolution de l'EURUSD du 22 Avril 2019 au 20 Mai 2020. 70 Résultats Les paramètres du modèle a, b et c dans l'équation (5.11), sont estimés en utilisant toutes les options négociées dans une fenêtre mobile de 3 mois, puis appliqués pour déterminer la couverture pour chaque jour qui suit. La première fenêtre utilisée pour estimer les paramètres s'étend du 22 Avril 2019 au 22 Juillet 2019. Les figures 5.12 et 5.13 représentent les estimations des paramètres de l'équation (5.13) pour les calls et puts respectivement, entre le 23 Juillet 2019 et le 20 Mai 2020.
FIGURE 5.12 - Estimation des paramètres des calls entre le 23 Juillet 2019 et le 20 Mai 2020.
FIGURE 5.13 - Estimation des paramètres des puts entre le 23 Juillet 2019 et le 20 Mai 2020. 71 Généralement, les paramètres du modèle quadratique le mieux adapté changent lentement au fil du temps, mais d'après la figure 5.11 nous remarquons des variations extrêmes du cours de l'EURUSD entre Février 2020 et Avril 2020, ceci est dû à la crise du COVID-19. Ces variations extrêmes ont affecté l'estimation des paramètres a, b et c pendant cette période. Les tables 5.10 et 5.11 ci-dessous présentent les statistiques descriptives des paramètres a, b et c, et de l'erreur de couverture CMV, pour les calls et le put respectivement. TABLE 5.10 - Statistiques descriptives de a, b, c et CMV pour les calls.
TABLE 5.11 - Statistiques descriptives de a, b, c et CMV pour les puts.
Pour pouvoir visualiser la qualité de l'ajustement de notre modèle de régression au données utilisés, nous avons calculé le coefficient de détermination, R2, pour toute la période considérée, les résultats sont présentés dans la figure 5.14. Nous remarquons que pour les calls, le R2 est supérieur à 0,5 pour la majorité de la période considérée, il atteint parfois 0,8, cela signifie que le modèle de régression explique jusqu'à 80% de la variabilité des données des call. Par contre, entre Février 2020 et Avril 2020 nous avons remarqué un faible R2, cela peut être dû au variations extrêmes sur l'EURUSD observées pendant cette période suite à la crise du COVID-19. Pour les puts le coefficient de détermination, R2, est proche de 1 pour la totalité de la période considérée, cela signifie que le modèles de régression explique presque l'ensemble de la variabilité des données pour les puts. Nous allons maintenant étudier le gain obtenu par le Minimum Variance Hedging par rapport au Delta Hedging du modèle de Black-Scholes, les résultats seront obtenus pour chaque Mo-neyness, OTM, ITM et ATM, et pour les options long terme et cours terme. Considérons un ensemble de n observations des variations quotidiennes des prix des options. Ces changements de prix peuvent être couvert en utilisant le delta de Black-Scholes, ou le Minimum Variance delta présenté dans cette section. Soit xi le carré du résidu de la couverture de la i`eme variation d'un jour du prix de l'option en utilisant le Minimum Variance delta et soit zi le carré du résidu de la couverture par le delta du modèle de Black-Scholes. Le gain de la couverture par le Minimum Variance delta, äMV, par rapport au delta du modèle de Black-Scholes, äBS, est:
72 Les résultats sont présentés dans le tableau 5.12 ci-dessous.
FIGURE 5.14 - R2 pour les calls et les puts entre le 23 Juillet 2019 et le 20 Mai 2020. TABLE 5.12 - Gain du Minimum Variance Hedging par rapport au Delta Hedging.
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