Le marché de change marocain. évaluation et couverture des options européennes et américaines de change et modélisation du taux de change du dirham.

4.5 Approximation de Bjerksund et Stensland (2002)

L'approximation de Bjerksund et Stensland (2002) [7] divise le temps jusqu'à la maturité en deux parties, chacune ayant une frontière d'exercice plane distincte. Il s'agit donc d'une simple généralisation de l'algorithme de Bjerksund et Stensland (1993). La méthode est rapide et efficace et devrait être plus précise que les approximations de Barone-Adesi et Whaley (1987) et de Bjerksund et Stensland (1993). Pour une démonstration détaillé des formules, se référer à Petter Bjerksund and Gunnar Stensland Colsed-Form Valuation Of American Options (2002) [7].

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Call Américain sur devises

Cette section étend l'approximation de la frontière plane, mentionnée dans la section précédente, en permettant une frontière plane X qui sera valide de la date 0 à la date t, et une autre frontière plane x valide de la date t à la date T, avec 0 < t < T. Il est bien connu que la frontière optimale est une fonction décroissante (et concave) du temps, d'où on choisi X > x > K.

La frontière d'exercice pour le call est composée des lignes en gras de la figure 4.3. On peut voir que la frontière d'exercice peut être vue comme des escaliers ayant 2 pas différents. La ligne verticale pointillée dans la figure 4.3 représente la frontière de non-exercice, qui correspond à l'exercice non-prématuré de l'option.

FIGURE 4.3 - Frontière d'exercice [7]. On défini le temps d'arrêt par :

ô = inf {{ inf : S_ô > X}, { inf : S_ô > x}, T }

ôE[0,8[ ôE[t,8[

La valeur d'un call Américain pour cette stratégie est :

C(S, K, T, rd, rf, ó, X, x, t) = E0(e^-rdômax(S_ô - K; 0))

Bjerksund et Stensland (2002) on donnée le prix d'un call Américain par la formule :

C = á(X)Sâ - áÖ(S, t, â, X, X) + Ö(S, t,1, X, X) - Ö(S, t,1, x, X) - KÖ(S, t, 0, X, X)

+ KÖ(S, t,0, x, X) + á(x)Ö(S, t, â, x, X) - á(x)Ø(S, T, â, x, X, x, t) + Ø(S, T,1, x, X, x, t)

- Ø(S, T,1, K, X, x, t) - KØ(S, T,0, x, X, x, t) + KØ(S, T,0, K, X, x, t) (4.15)

Avec :

á(X) = (X - K)X^-â á(x) = (x - K)x^-â

(1 rd rf_{l (}rd - rf 1_l2 2rd

â = \ 2 -U2 / + \ ó2 -2 / + ó2

La fonction Ö(S, T, ã, H, X) est donnée par :

Ö(S, T, ã, H, X) = e^ëSã(N(-d) - ()^êN(-d2))

S

ë = -rd + ã(rd - rf) + ₂ã(ã - 1)ó²

1

ê =

2(rd - rf)

ó2 + (2ã - 1)

d=

d2 =

( 2)ó2)

ln(S/H) + rd - rf + (ã - 1 T

_V

ó T

( 2)ó2)

ln(X²/SH) + rd - rf + (ã - 1 T

_V

ó T

Les deux frontières libres x et X sont définies par :

x = B0 + (B₈ - B0)(1 - eh(t))
X = B0 + (B₈ - B0)(1 - eh(T))

_K2

h(t) = -((rd - rf)t + 2óVt) ((B₈ - B0)B0 )

_K2

h(T) = -((rd - rf)T + 2óVT) ((B₈ - B0)B0)

1 V

t = ₂( 5 - 1)T

B₈ = â âK

- 1

B0 = max (K; rd K)

rf

La fonction Ø(S, T, ã, H, X, x, t) est donnée par :

Ø(S, T, ã, H, X, x, t) = e^ëTSã(M(- e1, -f1,11T) - (X/S)^êM(- e2, -f2,11_T)

- (x/S)^êM(- e3, -f

3, -11_T) + (x/X)^êM(- e4, -f4, -11;))

Avec M(., ., .) est la fonction de distribution de la loi normale bivariée, et :

e1 =

( 2)ó2)

ln(S/x) + rd - rf + (ã - 1 t

óVt

e2 =	( 2)ó2) ln(X^2/Sx) + rd - rf + (ã - 1 t
	óVt 48

e3 =

49

( 2)cr2)

ln(S/x) - rd - rf + ('r - 1 t

cr/t

e4 =

f1 =

( 2)cr2)

ln(X²/Sx) - rd - rf + ('r - 1 t

cr/t

( 2)cr2)

ln(S/H) + rd - rf + ('r - 1 T

/ cr T

f2 =

( 2)cr2)

ln(X²/SH) + rd - rf + ('r - 1 T

/ cr T

( 2)cr2)

f3 =

ln(x²/SH) + rd - rf + ('r - 1 T

/ cr T

f4 =

( 2)cr2)

ln(Sx²/HX²) + rd - rf + ('r - 1 T

/ cr T

Put Américain sur devises

Le prix d'un put Américain peut être aussi déduit de la formule d'approximation donnée dans l'équation (4.15) pour un call Américain, le prix est donnée par la transformation suivante:

P(S, K, T,rd,rf, cr) = C(K, S, T,rf,rd, cr) (4.16)

Avec C(.) est la valeur d'un call Américain sur devises avec un taux sans risque domestique rd et un taux sans risque étranger rf.