Le marché de change marocain. évaluation et couverture des options européennes et américaines de change et modélisation du taux de change du dirham.

4.4 Approximation de Bjerksund et Stensland (1993)

L'approximation de Bjerksund et Stensland (1993) [6] peut être utilisée évaluer des options Américaines sur actions, futures et devises. La méthode est analytique et extrêmement efficace et économique sur le plan informatique. L'approximation de Bjerksund et Stensland est basée sur une stratégie d'exercice correspondant à une frontière plane X (prix de déclenchement).

45

Les résultats numériques montrent que le prix donnée par l'approximation est très proche de la véritable valeur de l'option. Pour les options à court terme, la méthode est aussi précise que l'approximation quadratique par Barone-Adesi et Whaley, alors que cette méthode méthode est nettement plus performante avec les options à long terme. Cependant, une approximation encore plus précise est l'approximation de Bjerksund et Stendsland (2002) [7] qui sera bientôt présentée. Pour une démonstration détaillé des formules, se référer à Petter Bjerksund and Gunnar Stensland Colsed-Form Approximation Of American Options (1993) [6].

Call Américain sur devises

Il est bien connu dans la littérature que la valeur d'une option peut être représentée comme l'espérance, dans l'univers risque-neutre, du payoff actualisé au taux sans risque.

Considérons un call Américain ayant une maturité T est un strike K. Pour une stratégie d'exercice donnée, représentée par un temps d'arrêt ô ? [0, T], la valeur de cette option pour cette stratégie est donnée par:

C = E0(e^-rd^ômax(S_ô - K;0))

En conséquence, le prix d'un call Américain est:

C(S, K, T,rd,rf, ó) = sup E0(e^-rd^ômax(S_ô - K;0))

ô?[0,T]

Bjerksund et Stensland (1993) obtiennent la valeur du call Américain sous réserve d'un exercice anticipé lorsque le prix de l'actif sous-jacent atteint une frontière plane X > K par le bas. Le call Américain peut être décomposé de :

-- Un call Européen up-and-out avec une barrière knock-out X, de strike K et de maturité T.

-- Un rabais X - K réceptionné à la date du knock-out si l'option atteint la barrière knockout avant sa date de maturité.

L'approximation d'un call Américain donnée par Bjerksund et Stensland (1993) est:

C = C(S, K, T, rd, rf, ó)

où

C = áSâ - áÖ(S, T, â, X, X) + Ö(S, T,1, X, X) - Ö(S, T,1, K, X)

- KÖ(S, T, 0, X, X) + KÖ(S, T, 0, K, X) (4.13)

Avec:

á = (X - K)X^-â

₍₁ \ ₍rd - rf \2

2 - rd - rf + 2rd

â = + ó2 - 1

ó2 2 ó2

La fonction Ö(S, T, ã, H, X) est donnée par:

_\ê (

Ö(S, T, ã, H, X) = eëSã( ( X d - 2ln(X/S) \\

N(d) - N v

S ó T

46

( ₂ã(ã - 1)ó²)

ë = - rd + ã(rd - rf ) + 1 T

d=

( 2)ó2)

ln(S/H) + rd - rf + (ã - 1 T

ê =

v

ó T

2(rd - rf)

ó2 + (2ã - 1)

La frontière libre X est définie par:

X = B0 + (B₈ - B0)(1 - eh(T))

v ( _B0 )

h(T) = -((rd - rf )T + 2ó T) B₈ - B0

B₈ = â

â - 1K

( )

K; rd

B0 = max K

rf

Si S = X, il est optimal d'exercer l'option immédiatement, et sa valeur doit être égale à la valeur intrinsèque S - K. En revanche, si rf = 0, il ne sera jamais optimal d'exercer le call Américain avant l'expiration, et sa valeur peut être déduite de la formule de Black-Scholes.

Put Américain sur devises

Le prix d'un put Américain peut être déduit de la formule d'approximation donnée dans l'équation (4.13) pour un call Américain, le prix est donnée par la transformation suivante:

P(S, K, T, rd, rf, ó) = C(K, S, T, rf, rd, ó) (4.14)

Avec C(.) est la valeur d'un call Américain sur devises avec un taux sans risque domestique rd et un taux sans risque étranger rf. En utilisant cette transformation, il n'est pas nécessaire de développer une formule séparée pour évaluer un put Américain.