Le marché de change marocain. évaluation et couverture des options européennes et américaines de change et modélisation du taux de change du dirham.

4.3 Approximation de Barone-Adesi et Whaley (1987)

Barone-Adesi et Whaley (1987) [2] écrivent le prix de l'option Américaine comme la somme du prix de l'option Européenne correspondante et d'une quantité appelée prime d'exer-cice anticipé. Le prix de l'option Européenne est donné par la formule de Black-Scholes et la prime d'exercice anticipé est approximée par la solution d'un problème à frontière libre pour une équation différentielle ordinaire. Cette équation différentielle ordinaire est obtenue en ignorant le terme de la dérivé par rapport au temps dans l'équation aux dérivées partielle satisfaite par la prime d'exercice anticipé.

Barone-Adesi et Whaley donnent une formule simple pour la solution du problème à frontière pour une équation différentielle ordinaire. De plus, ils déterminent une approximation de la frontière libre en résolvant numériquement une équation non linéaire qui dépend de la variable temporelle comme paramètre. Cette solution approximative du problème de pricing des options Américaines est appelé approximation quadratique de Barone-Adesi et Whaley, elle est largement utilisé sur les marchés financiers par les praticiens.

L'approximation quadratique donnée par Barone-Adesi et Whaley sera utilisée pour évaluer des calls et des puts Américains sur devises. Le modèle est rapide et précis pour la plupart des valeurs d'entrée pratiques. Pour une démonstration détaillé des formules, se référer à Barone-Adesi, G. and Whaley, R.E. (1987) [2].

Call Américain sur devises

Le prix d'un call Américain est donnée par:

_f

c(S, K, T) + A2(S/S^*)q² si S < S*

C(S, K, T) = S - K si S = S*

Avec c(S, K, T) est le prix d'un call Européen correspondant, donnée par la formule de Black-Scholes, et

_S*

A2 = (1 - e^-rf ^TN(d1(S^*)))
q2

d1(S) =

ln(S/K) + (rd - rf + ó^2/2)T v ó T

43

q2 =	\ -(N - 1) + (N - 1)^2+ 4M/X 2
2rd M= N = 0^-^2		2(rd - rf)	X = 1 - e-rdT
		0^-^2

Put Américain sur devises

(

p(S, K, T) + A1(S/S^**)q¹ si S > S**

P(S, K, T) =

K - S si S = S**

Avec p(S, K, T) est le prix d'un put Européen correspondant, donnée par la formule de Black-Scholes, et

_S**

A1 = (1 - e^-rf ^TN(-d1(S^**)))
q1

q1 =

\

-(N - 1) - (N - 1)² + 4M/X

2

Pour le call Américain, S^* est le prix critique du sous-jacent qui vérifie :

_S*

S* - K = c(S^*, K, T) + (1 - e^-rf ^TN(d1(S^*))) (4.11)
q2

Même si S^* est le seul inconnu dans l'équation (4.11), il doit être déterminé de manière itérative. Pour commencer, nous allons commencer par calculer les deux cotés de l'équation (4.11) pour une valeur initiale S1. Notons :

LHS(Si) = Si - K

Si

RHS(Si) = c(Si, K, T) + (1 - e^-rf ^TN(d1(Si)))

q2

Nous allons utiliser l'algorithme de Newton-Raphson, décrit plus haut, pour résoudre cette équation.

La pente de RHS en Si est :

?RHS	1 1 1 C e-rf Tn(d1(Si))~ = bi = e^-rf ^TN(d1(Si))(1 - ) + - v q2 q2 0- T
?Si

où n(.) est la fonction densité de la loi normale.

Étant donnée une valeur initiale Si, il en découle directement de la méthode Newton-Raphson que la prochaine et meilleure estimation, _Si+1, est :

K - RHS(Si) - biSi

Si+1 =

1 - bi

La procédure itérative doit se poursuivre jusqu'à ce que l'erreur relative absolue se situe dans un niveau de tolérance acceptable. Par exemple :

|LHS(Si - RHS(Si| < 10^-5 K

44

Pour le put Américain, S^** est le prix critique du sous-jacent qui vérifie :

S**

K - S^** = p(S^**, K, T) - (1 - e^-rf ^TN(-d1(S^**))) (4.12)
q1

Notons :

VS(Sj) = K - Sj

Sj

HS(Sj) = p(Sj, K, T) - (1 - e^-rf ^TN(-d1(Sj)))

q1

La pente de HS en Sj est :

?HS ?Sj

= bj = -e^-rf ^TN(-d1(Sj))(1 - 1₎ 1 (1 + e-rf ^Tn(-d1(Sj))) -

v

q1 q1 ó T

Étant donnée une valeur initiale Sj, il en découle directement de la méthode Newton-Raphson que la prochaine et meilleure estimation, _Sj+1, est :

Sj+1 =

K - HS(Sj) + bjSj 1 + bj

Comme toujours avec l'utilisation de la méthode Newton-Raphson, nous avons besoin d'une valeur de départ. Barone-Adesi et Whaley suggèrent d'utiliser :

v ( K )

S* 1 = K + (S^*(co) - K)(1 - e^h2) avec h2 = -((rd - rf)T + 2ó T) S^*(co) - K

Si* = S^**(co) + (K - S^**(co))e^h1 avec h1 = ((rd - r)T - 2cr.\/T) ( )

f K - S^K**(co)

Avec S(co) est le prix critique du sous-jacent quand la date d'échéance tend vers l'infini :

S^*(co) =					K
1	-	2(-(N	-	1)	+ (N - 1)^2 + 4M)-^1 / -K
S**(co) 1	-	2(-(N	-	1)	/(N - 1)^2 + 4M)-^1