Le marché de change marocain. évaluation et couverture des options européennes et américaines de change et modélisation du taux de change du dirham.

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3.2.2 Méthode de Vanna-Volga

La méthode de Vanna-Volga est une méthode populaire d'interpolation/extrapolation des smiles de volatilité. Cette technique est largement utilisée dans le contexte des marchés des changes, en raison de sa capacité à construire de manière cohérente tout le smile de volatilité en utilisant seulement trois cotations de marché.

Cette méthode consiste à ajouter une correction au modèle de Black-Scholes, pour ce faire, la méthode utilise les cotations les plus liquides sur le marché, généralement des options à la monnaie, des stratégies Risk Reversal et Butterfly (un chapitre sera consacré à ces stratégies de couverture). Elle consiste ensuite à construire un portefeuille de couverture qui annule le Vega, Vanna et Volga de l'option du modèle de Black-Scholes. Le choix de ces lettres grecques est lié au fait qu'ils offrent tous une mesure de la sensibilité de l'option par rapport à la volatilité, et donc le portefeuille de couverture construit vise à prendre l'effet du smile en compte.

Le smile de volatilité est fonction du strike K. Sur les marchés de change, les stratégies les plus liquides sont:

-- Straddle : C'est une stratégie consistant à acheter ou à vendre un put et un call sur le même sous-jacent, avec les mêmes dates d'échéance et prix d'exercice.

-- Strangle : Il s'agit en effet d'une variation du straddle, et qui correspond à acheter et un call et un put sur le même sous-jacent, même échéance, et ayant des prix d'exercice

différents, traditionnellement, le strike du call est au dessus du strike du put.

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Butterfly : C'est une stratégie qui combine l'achat et la vente de 3 options de mêmes types (calls ou puts) et qui portent sur le même sous-jacent, ayant les mêmes échéances, mais 3 prix d'exercice différents K1, K2 et K3 tels que : K1 < K2 < K3. Le butterfly se compose donc de l'achat d'une option de strike K1, la vente de 2 options de strike K2 et l'achat d'une option de strike K3.

Normalement, les brokers cotent les volatilités au lieu des prix direct des instrument financiers. Elles sont exprimées en fonction de 0, par exemple, une volatilité à 250-call ou put fait référence à la volatilité aux strikes K_c, K_p qui satisfait 0call(Kc, U(K_c)) = 0, 25 et 0put(Kp, U(K_p)) = -0, 25 respectivement. Les cotations les plus liquides de la volatilité sont :

La volatilité à la monnaie : UATM

La volatilité 250-Risk Reversal (RR) : URR

La volatilité 250-Butterfly (BF) : UBF

La volatilité óATM

Elle est cotée sur le marché pour un Straddle à la monnaie de delta 0%. Le delta de ce Straddle est la somme des deltas du call et du put qui le composent : 0(c) + 0(p) = 0%

La volatilité óRR

Elle est estimée comme étant la différence entre la volatilité d'un call et celle d'un put. Il est convenu d'utiliser un call et un put de delta égal à 25% en valeur absolue pour calculer cette volatilité :

URR = U250c - U250p

La volatilité óBF

Elle est égale à la différence entre la volatilité d'un Strangle, qui est la moyenne des volatilités du put et du call de deltas respectivement -25% et 25%, et la volatilité à la monnaie :

UBF =	U250c + U250p		UATM

UBF

2

UBF

2

Calcul de la volatilité implicite On peut déduire que :

U250c = UATM + _UBF + U250p = UATM + UBF

Notons KATM, K250c ^et _K250p les strikes correspondant aux volatilités UATM, U250c ^et U250p respectivement. On peut monter que :

KATM = S0 e(rd-rf +U2

^AZ^M)T

(rd-r ^{c M})T-N^-1(0,25e^rf ^T)a_z50_c\T

K250c = S0 e f +

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K254 = S0 e(rd --rf+^°ZA_ZM)T-N^-1(-0,25e^'f^T+1)v_z5o_p\T

Nous avons ainsi 3 couples :(ó25Äp, K25Äp), (óATM, KATM) ^et (ó25Äc, K25Äc). Pour des raisons de simplification on les notes : (ó1, K1), (ó2, K2) et (ó3, K3) respectivement.

Le modèle de Black-Scholes permet de donner le prix d'une option. Sous les hypothèses du modèle, l'utilisation d'une stratégie delta-neutre pour cette option permet de se couvrir contre le risque lié à la variation du prix du sous-jacent, ceci supposons que la volatilité est une donnée constante durant la vie de l'option.

Dans la réalité du marché, afin de contourner l'imperfection du modèle Black-Scholes au niveau de la volatilité, les traders couvrent ce risque en construisant un nouveau portefeuille.

Soit Ð un portefeuille constitué de :

La vente d'un call cK de strike K.

L'achat d'une quantité Ä du sous-jacent.

L'achat de 3 calls _cKi de strikes Ki, en proportions ùi, avec i = {1, 2, 3}.

On a donc:		3
Ð = cK - ÄS -	? i=1	ùicKi

On choisit Ä et ùi de telle sorte que notre portefeuille vérifie le système suivant :

Vega-neutre : ?Ð?ó = 0

Vanna-neutre : ?2Ð ?ó?S = 0

Volga-neutre : ?2Ð

?2ó = 0

La solution de ce système est :

ù1 =	V(cK) V(cK1)	ln(K2 K )ln(K3 K ) ù2 = ln(K2 K1 )ln(K3 K1 )	V(cK) V(cK2)	ln(K1 K )ln(K3 K ) ù3 = ln(K2 K1 )ln(K3 K2 )	V(cK) V(cK3)	ln( K1K)ln(K2 K )
						ln(^K3 K1 )ln(K3 K2 ) (3.1)

Avec : V(cK_i) = Vega(cK_i)

Une volatilité notée í, déduite à partir de la méthode de Vanna-Volga, pour un call de strike K est obtenue en ajoutant le prix du modèle de Black-Scholes au coût de la mise en place de la couverture ci-dessus :

3

c(K, í) = c(K, ó) + ? ùi(c(Ki, ói) - c(Ki, ó)) (3.2)

i=1

Avec c(K, ó) est le prix, par le modèle de Black-Scholes, d'un call de strike K et de volatilité constante ó.

Une courbe de volatilité implicite peut être construite en inversant l'équation (3.2), pour chaque valeur de strike K.

Approximation au 1^er ordre de la volatilité implicite On utilise l'approximation suivante :

c(Ki, ói) - c(Ki, ó) (ói - ó)V(cK_i)

On a donc:

3

c(K, í) c(K, ó) + L ùi(ói - ó)V(cK_i)

i=1

En substituant les ùi les résultats de (3.1), et en utilisant le fait que V(cK) = a donc:

3 L i=1

ùiV(cKi), on

3

c(K, í) c(K, ó) + V(cK)( L yiói - ó) c(K, ó) + V(cK)(í - ó) i=1

Avec :

3

í = L yiói (3.3)

i=1

Est l'approximation au 1^er ordre de la volatilité implicite í pour le strike K, et les coefficients yi sont donnés par :

ln(K2 _K )ln(K3 _K )

y2 =

ln(K2 _K1 )ln(K3 _K1 )

ln(K2 K )ln(K3 _K )

y3 =

ln(^K2 K1)ln(K3 _K2 )

y1 =

(3.4)

ln(^K3

K1 )ln(K3 _K2 )

ln(K1 K )ln(K2 ^K )

Cela montre que la volatilité implicite í peut être approximée par une combinaison linéaire des trois smiles de volatilité ói

Approximation au 2^nd ordre de la volatilité implicite

Une approximation au second ordre plus pertinente, peut être obtenue en utilisant l'approxi-mation suivante :

c(K, í) c(K, ó) + V(cK)(í - ó) + ₂Vó(cK)(í - ó)²

1

c(K, ó) +

3 L i=1

ùi(V(cKi)(ói - ó) + 2Vó(cKi)(ói - ó)^2) 1

Avec :

V(cKi)d1(Ki)d2(Ki)

Vó(cKi) = ó

Donc :

1 V(cK)d1(K)d2(K)

V(cK)(í - ó) + (í - ó)²

2 ó

3

- V(cK)ó + V2U) Lyid1(Ki)d2(Ki)(ói - ó)²

i=1 i=1

V(cK)

3

( 1d1(K)d2(K)(í - ó)^2 + (í - ó) - í - ó + 2 ó	3 L i=1	yid1(Ki)d2(Ki)(ói - ó)^2	~ 0
		2ó

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D'où :

La résolution de cette équation quadratique donne l'approximation au second ordre de la volatilité implicite:

d1(K)d2(K)

Avec cr souvent prise égale à cr2 et y représente l'approximation au premier ordre de l'équa-tion (3.3).

y = cr +

s ( 3

-cr + cr² + 2cr(y - cr) + ? yid1(Ki)d2(Ki)(cri - cr)²) d1(K)d2(K) i=1

(3.5)