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Chapitre 3
Surface de volatilité : Modèle de
Vanna-Volga
De façon générale, le modèle de
Black-Scholes et ses extensions restent l'outil fondamental utilisé par
les traders des options. Cependant, il existe des inconsistances qui rendent
impossible son application directe sur le marché des options:
-- Le modèle de Black-Scholes suppose une
volatilité constante tout au long de la durée de vie de l'option,
ce qui n'est pas le cas dans la réalité.
-- Contrairement à l'hypothèse centrale du
modèle, le prix du sous-jacent ne varie pas de façon continue.
C'est pourquoi le modèle est utilisé comme une
approximation de premier ordre au fonctionnement des marchés.
Dans ce chapitre, nous décrivons les courbes de
volatilité utilisées par les opérateurs des marchés
d'options sur devises. Nous expliquons la relation entre le Smile de
volatilité et la distribution de probabilité risque-neutre de la
valeur future d'un actif. Nous examinons également de quelle
manière ces opérateurs adaptent la volatilité en fonction
de la maturité de l'option, et comment ils utilisent des surfaces de
volatilités comme outils d'évaluation.
3.1 Volatilité historique et volatilité
implicite
Dans le modèle de Black-Scholes, ou de
Garman-Kohlhagen, tous les paramètres sont connus (K, T)
ou observables (S, rd, rf) sauf la
volatilité ó qui doit être estimée, Il y a
plusieurs façons de la calculer.
3.1.1 Volatilité historique
La volatilité historique est calculée à
partir de l'historique des prix du sous-jacent. Le paramètre de
volatilité n'est pas observable mais son estimation empirique est facile
si les rendements sont indépendants et identiquement distribués.
Le calcul n'est pas compliqué, mais la détermination de la
période sur laquelle on veut estimer la volatilité reste
très délicat.
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Afin d'estimer empiriquement la volatilité d'une action,
des relevés de cours périodiques sont nécessaires.
Notons:
-- n + 1 : Le nombre d'observations.
-- Si : Le cours du sous-jacent au terme du
i-ème intervalle de temps. -- T : La durée des
intervalles de temps en années.
On pose alors:
ui = ln( Si )
Si-1
pour i = 1,2,..., n.
L'estimation, s, de l'écart-type des ui
est donnée par la formule:
s =
soit:
\/
n
1 (ui - u)2
n -
1 ? i=1
s = n(n - 1)(
\/ n - 1 ? u2 i - 1 ?
ui)
1
i=1 i=1
n n
2
où u est la moyenne des ui.
Nous savons que l'écart-type des ui est
égal à crVT . La variable s est donc
un estimateur de crVT. Nous pouvons donc estimer cr
par crà avec:
crà =
s
VT
Il peut être démontré que
l'écart-type de cet estimateur est approximativement égal
à àcr/V2n.
Déterminer une valeur optimale de n reste
très délicat. Généralement, plus le nombre de
données est important, meilleure est la qualité de l'estimation.
Mais la volatilité historique, cr, varie au fil du temps, et la
prise en compte de données trop anciennes n'est pas pertinente pour une
bonne prédiction de la valeur future. Une règle
générale très utilisée consiste à faire
coïncider le nombre de jours sur lequel on se base pour le calcul de la
volatilité historique avec l'horizon d'investissement. Ainsi, si
l'investisseur cherche à estimer une volatilité pour calculer le
prix d'une option d'échéance deux ans, il utilisera des
données quotidiennes relevées sur une période de deux
ans.
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