3 La formule de Black et Scholes
On retrouve la formule de Black et Scholes pour
l'évaluationdun calleuropéen classique (call vanille) avec les
calls cash or nothing et asset or nothing où la prime du callcash or
nothing est le prix d'exercice K.
Cvanille = Casset - Ccash = SV(a1) - Ke_rTV(a2)
puisque le payoff de cette option est donné par
CT = max(ST -K,0)
FIG. 5 - Exemple de payoff de l'option vanille K=80, T=1 an
Sous l'absence d'oportunité d'arbitrage on peut donnerla
formule de parité call/put.
Définition 7. La formule de parité Call/put
s'écrit :
C-P=S-Ke_rt
On en déduit le prix d'un put vanille avec les
propriétés delaloi normale
C = S.V(a1) - Ke_rT.V(a2)
P = Ke_rT.V(-a2) - S.V(-a1) avec
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a1 =
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ln(S/K) + (r + 1 2ó2)T
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/
ó T
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/
a2 = a1 - ó T
Exemple On reprend les mêmes données pour
évaluer le call vanille aveclarbrebinomial ce qui donne :
Tree Display
At each node:
Upper value = Underlying Asset Price Lower value = Option
Price
Values in red are a result of early exercise.
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99,96732
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Strike price = 50
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49,96732
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Discount factor per step = 0,9958
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89,06561
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31,50489
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31,50489
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0
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0
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28,0692
0
25,00817
0
Time step, dt = 0,0833 years, 30,42 days
Growth factor per step, a = 1,0042
Probability of up move, p = 0,4892
Up step size, u = 1,1224
Down step size, d = 0,8909
5,966018
50
44,54736
56,12005
9,462262
2,66633
4,709153
62,98919
39,68935
0,731652
14,50592
50
21,32023
44,54736
70,69912
56, 12005
8,098216
35,36112
1,501841
0
29,76769
62,98919
3,082786
39,68935
79,35276
13,40412
50
0
44,54736
39,27351
70,69912
20,90702
56, 12005
6,327945
35,36112
0
0
29,35276
62,98919
12,98919
50
0
0
79,35276
39,68935
Node Time:
0,0000 0,0833 0,1667 0,2500 0,3333 0,4167 0,5000
FIG. 6 - Evaluation d'un call vanille
On a bien la formule qui s'applique à l'arbre en
utilisantles calls précédents
Cvanille = Casset-Ccash = 21,754-15, 788 = 5,966 avec les valeurs
trouvées par les arbres
On remarque que le prix d'un call vanille est nettement
inférieur à celui dun call binaire, le payoff étant moins
élevé. En utilisant la formule de Black et Scholes on trouve que
le call vanille vaut
Cvanille = Casset-Ccash = 29, 544-23,351 = 6.193 avec les
valeurs trouvées parl'application numérique
Encore une fois le nombre de périodes ne suffit donc
pasLe graphiquesuivant montre la convergence graphique du modèle
binomial de notre exemple vers la valeur de Black et Scholes suivant le nombre
de périodes :
FIG. 7 Convergence vers Black et Scholes
Pour un résultat correct le nombre de périodes
minimal est de lordre de 80 périodes.
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