Une description de differentes options exotiques à partir du modèle de Cox Ross et Rubinstein sur quelques periodes

1.2 Expression mathématique

De façon mathématique on peut exprimer le call d'un option cash or nothing comme

? ????????? ? ??????????

Q si ST > K 0 sinon Ou encore QlST>K

Pour exercer ce call il faut que le sous jacent dépasse le seuil K à la date T. Nous allons donc définir le nombre minimal de hausses qu'il faut pour remplir cette condition.

Proposition 4. Le nombre minimal de hausses pour que la valeur du ours du sous acent dépasse K est h0 tel que :

Su^hd^T-h > K

K
Sd^T

u^h
<#> >

dh

<#>h >

ln ( SKdT ln (U)

ln( ) ln( T)

Soit l'entier naturel h0 = 1+ S(d)1 qui est la partie entiére de^Sdaugmentée de

ln(7/) ) 1.

Proposition 5. Le prix d'un call binaire cash or nothing dans le modèle CRR adate

d'aujourd'hui est

C0 = e^-rTQ.P(ST > K)

preuve : Le prix d'un call à la date t = 0 est l'espérance actualisée au taux sans risque du payoff de l'option. Soit

C 0 = e ^-rT E 4 [Q1ST =K]

Nous allons donc nous attacher à trouver la probabilité P pour que ST soit supérieur à K.

1.3 Convergence du modèle de Cox Ross Rubinstein

Nous avons calculé le call uniquement en prenant en compte que le sous-jacent pouvait varier chaque mois. Or en réalité il varie tout le tempsLe problème est que pour un nombre de périodes n très grand, le nombre de calculs à faire est considérablepuisque dans un arbre à n périodes il y a 2ⁿ trajectoires du sous-jacent. Nous allons donc faire converger la loi binomiale qui on le sait pour n très grand converge vers une loi normale beaucoup plus facile à estimer. On divisera la période de vie de l'option T en n petits intervalles

'h = [hz_n, (h + 1)z_n]

pour h = 0,....n - 1 et on note z_n = T n .On se retrouve comme si on regardait l'actif au bout de chaque intervalle 'h.

Le taux d'intérêt discret sans risque r_n sur 'h sera choisi tel que :

lim (1 + r_n)ⁿ = lim

n?+00 enr4n

n?+00

On choisit 1 + r_n = erAn

Le pas des subdivisions que nous avons construites sur [0,n] tend vers O quand n ? +oc . Il parait naturel de penser que notre suite de processus discrets va converger vers un marché financier à temps continu.

?n,?h = {1,...,n - 1} le cours de l'actif risqué pendant une période de temps Ih peut monter de u_n ou baisser de d_n tel que :

S(h+1)Ä_n = h+1,nShA_n

Pour n fixé les _h,n E {u_n, d_n} sont définies sur l'espace de probabilité (Q_n, F_n, P_n) et sont toutes identiques et indépendantes telles que

1_n ( h,n = u_n) = p = 1 - 1_n ( h,n = d_n)

où p_n la même probabilité risque neutre définie dans le modèle une période puisquon ne fait que répéter ce modèle n fois. Dans la suite nous prendrons comme paramètres

u_n = eóvÄn, d_n = e-óvÄn, p_n = ertn - d_n

u_n - d_n

Proposition 6. La probabilité d'exercer un call binaire cash or nothingest

1(ST = K) =N(a2)

où N est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.

preuve : Sur n périodes un call binaire cash or nothing s'écrit

Ccash n=0 = e^-rT Q.P(Sn = K) = e^-rTQ

Xn (n ) (p^h n)(1 - pn)^n-h h h=h0

où

n

X _(n )

(p^h _n)(1 - p_n)^n-h

h

h=h0

est la probabilité qu'une loi binomiale de paramètres (n,p_n) prenne des valeurs supérieures à h0. Soit X_n la loi binomiale de paramètre n et p_n. On cherche la limite quand n tend vers l'infini de P(X_n = h0). Comme X_n est la somme de n variables de Bernoulli de même loi, indépendantes, on commence par centrer et réduire" pour une éventuelle application du théorème central limite :

Xn-npn / n (pn(1 - pn)) =	h0 - npn
	/ n(pn(1 - pn))

On cherche donc la limite quand n tend vers l'infini de

h0 - np_n

/

n (p_n(1 - p_n))

or [x] <x < [x] + 1 donc

ln(K ) +na/Än S 2a/Än < h0 <

ln(K ) +na/Än S +1 2a/Än

ln(K _S )+na/Än

La limite si elle existe de h0-npn2a/ Än -npn

/n(p_n(1-p_n))

est celle de vnpn(1-pn)

puisque lim p_n = 1 2 et lim 1 /npn(1-pn) = 0

n?+8 n?+8

lim n--+oo		h0 - npn	= lim n--+oo
	N/ n (pn(1 - pn))

= lim

n--+oo

Donc :

ln(^KS )+nóN/Än 2óN/Än

npn

_N/n (p_n(1 - p_n))

ln _(K ) + no-vÄ_n (1 - 2p_n)

S

2o- N/Ä_nn (pn(¹ - p_n))

on a déjà vu :

1

lim p_n =

2

n--+oo

Donc

lim n--+oo

2o-N/Änn (pn(1 - pn)) = lim n--+oo

2o- N/AnN/n (pn(1 - pn)) = o-vT

Calculons la limite de no^- (1 - 2p_n) vA_n. Pour cela on améliore l'approximation de p_n. En utilisant le developpement limité e^x 1 + x + ^x22 pour x proche de zero et le fait que nÄ_n = T on a :

pn =

1 + rn - e--óN/Än ' eóN/Än - e--óN/Än

rÄn + o-vÄn - ó2Än 2 2o-vÄn

On en déduit d'une part que ::

(

2 2o- 2

r -N/A_n
o-2 )

p_n

1 1

1 o-²

1 - 2pn- (r - 2 N/An

o-

lim n--+oo			no- (1 - 2pn) N/An =T (2 - r)
d'où	lim n--+oo	!- npn ln n,)+T (21 o-^2 - r) N/n (pn(1 - pn)) =a2 avec a2= o-vT

D'après le théorème de Lindberg qui généralise le théorème central limite on peut affirmer que :

lim u?+00

) +00f f a2 Xu -- npu = 1 -y^2 1 -y^2 P pe^2 dy = e n (pu(1 -- pu)) = -- a2 v2ð v2ð^2dy = N (a2) -a2 -00

où N est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.

Application à l'exemple On reprend les données de l'exemple. On calcule alors a2 = --0,05303. Le calcul donne : N (a2) = 0,47885 et donc le prix du call estC^cash

u=0 =

e^-rTQ.0, 47885 = e^-0,05.0,5.50.0,47885 = 23,351. On remarque que l'écart par rapport

à la méthode de l'arbre est fort, il faudrait un nombre de périodes plus élevé pourêtre plus précis.