1.2.1 Variables aléatoires
Un processus stochastique est un ensemble des variables
aléatoires (Xi, t E Ø) dans un espace de
probabilité (Ù, t9, P). Dans le sens
général, les processus stochastiques sont des fonctions
X(t, w) dépendant du temps. Pour une
éventualité w fixé,X(t, w) sont
des variables aléatoires sur (Ù, t9, P) [135]
Le processus stochastique X est dit être
adapté si Xt E Øi pour tout
t,où Øt représente
Interprétation du paramètre t comme
index de temps introduit un aspect dynamique : pour modéliser le fait
que l'incertitude des événements de Ù devient de moins en
moins incertaine lorsque le temps s'écoule, i.e. on possède de
plus en plus d'information, on introduit la notion de filtration.
1.2.2 Modes de convergence
On rappelle succinctement les définitions des
différents modes de convergence des variables aléatoires. Ces
éléments sont tirés de [94]. Pour une ana-
14
lyse plus approfondie le lecteur intéressé peut
consulté [29],[30], [14]. La suite de variables aléatoires
Xn converge presque surement (p.s.) vers la
variable aléatoire X, si la convergence a lieu sauf peut -
être pour un ensemble de mesure négligeable.
La suite de variables aléatoires Xn
converge dans Lp vers la variable aléatoire X si
Proposition 1.2.6.1. La suite de
variables aléatoires réelles Xn converge en
probabilité si et seulement si pour tout r > 0,
supE(|Xn+k -
Xn|p) P-? 0
quand n ? 8.
La suite de variables aléatoires réelles
Xn converge en probabilité si et seulement si pour tout r
> 0,
P-?
IE(sup|Xn+k -
Xn| > r) 0 quand n ? 8.
Définition 1.2.5. Une suite de
variables aléatoires réelles Xn est
uniformément intégrable si
sup \ ( Ixn
|Xn /~ I dIE ? 0 quand n ? 8
|>0
autrement dit si pour tout e > 0, il existe a tel
que pour tout n,
f
|Xn|dIE |Xn|>a <
e.
1
e JC1<0 |y - x| <
c2|yi - xi|Pt,x(t + e, dy) =
c2e f Pt,x(t + e, dy)
y-x|>c
flimkXn -
Xkp = lim( |Xn -
X|pdIE)1/p
= 0.
La suite de mesure positives bornées
un converge faiblement vers u, si pour toute
fonction continue sur R qui tend vers zéro à l'infini, on a
f f
lim fdun = du.
La suite de mesures positives bornées
un converge étroitement vers u, si pour
toute fonction continue bornée de R
f f
lim fdun = du.
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La suite de mesures positives bornées
un converge étroitement vers u si et
seulement si un converge faiblement vers u et
si
limun(R) = u(R).
La suite de variables aléatoires Xn
converge en probabilité vers la variable aléatoire X
si
P(|Xn - X| = 6) ?
0,?E > .0
La suite de variables aléatoires Xn
converge en loi vers la variable aléatoire X si les mesures
Px convergent étroitement vers la mesure
Px.
Les modes de convergences sont liés entre eux : Certains
en impliquent d'autres.
Proposition 1.2.6.2. La convergence dans Lp
entraîne la convergence en probabilité si la suite Xn
converge vers X dans Lp, alors Xn converge vers X en
probabilité
Xn -? X Xn -?
X
Proposition 1.2.6.3. La convergence
presque sûrement entraîne la convergence en
probabilité
p.s.
Xn --? X Xn-?
X
P
Proposition 1.2.6.4. La convergence en
probabilité entraîne la convergence en loi
Xn -? X Xn -?
X
Soit Xn une suite de variables
aléatoires réelles.
Proposition 1.2.6.5. La suite de
variables aléatoires réelles Xn converge en
probabilité si et seulement si pour tout r > 0,
supP(|Xn+k - Xn|
> r) ? 0 quand n ? 8.
Proposition 1.2.6.6. La suite de
variables aléatoires réelles Xn converge en
probabilité si et seulement si pour tout r > 0,
supE(|Xn+k -
Xn|p) ? 0 quand n ?
8.
La suite de variables aléatoires réelles
Xn converge en probabilité si et seulement si pour tout r
> 0,
P(sup|Xn+k -
Xn| > r) P-? 0 quand n
? 8.
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