Applications des intégrales stochastiques en macroéconométrie

1.2 Espérance conditionnelle

Dans ce point un rappel sur les règles de calcul des espérances conditionnelles, auquel nous nous sommes constamment reportés pour le traitement de la théorie des martingales.

Soient X et Y deux variables aléatoires avec Y réelle et X prenant ses valeurs dans un ensemble fini ou dénombrable.

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Définition 1.2.1. Soit X une variable aléatoire à valeurs dans un ensemble E fini ou dénombrable dont les points sont notés {x1, x2, ..., x_n, ...}. Soit Y une autre variable aléatoire réelle, définie sur le même espace de probabilité (Ù, F,P). Si P(X = xj) > 0, l'espérance conditionnelle de Y sachant {X = xj} est le nombre E(Y |X = xj) = EQ₃(Y ),espérance de Y pour Qj, où Qj est la probabilité sur (Q, F) donnée par Q(A) = P(A|X = xj), pourvu que EQ₃(|Y |) < oo (i.e.,Y est Qj - intégrable).

Lorsque Y est elle-même une variable aléatoire discrète prenant ses valeurs dans {y1, y2, ...} pour Y,on obtient le résultat suivant.

Théorème 1.2.1. Dans la situation précédente, pour tout j tel que

P(X = xj) > 0 on a E(Y |X = xj) = Ek1 ykP(Y = yk|X = xj) pourvu que la série ci - dessus soit absolument convergente.

Définition 1.2.2. Soit X une variable aléatoire à valeurs dans un espace E fini ou dénombrable, et Y une variable aléatoire réelle définie sur le même espace de probabilité. L'espérance conditionnelle deY sachant X est

E(Y |X) = f(X) où f est donnée par la définition précédente ()et pourvu que cette fonction f soit bien définie.

Si par exemple X est une application de S2 dans Rⁿ, la tribu engendrée par X est

o-(X) = X^-1(Bⁿ) = {F E SZ : X^-1(93) = F pour un 93 E Bⁿ}.

Définition 1.2.3. Soit Y E L²(S), F, P). L'espérance conditionnelle de Y sachant X est l'unique élément Y de L²(SZ, cr(X), P) qui vérifie

E(Y^àZ) = E(Y Z) pour tout Z E L²(SZ, u(X), P). On note cette espérance conditionnelle par E(Y |X).

Définition 1.2.4. Soit Y E L²(SZ, F, P) et G une sous-tribu de F. L'espérance conditionnelle deY sachant G est l'unique élément E(Y |G) de L²(SZ, G, P) qui vérifie E(Y Z) = E(E(Y |G)Z) pour tout Z E L²(SZ, F, P).

Théorème 1.2.2. [90] Soit Y E L²(Q, F, P) et G une sous-tribu de F.

(i) Si Y > 0 alors E(Y |G) > 0,

(ii) Si G = u(X) pour une variable aléatoire X à valeurs dans Rⁿ,il existe une fonction borélienne f sur R telle que E(Y |G) = f(X),

(iii) E(E(Y |G)) = E(Y ),

(iv) L'application Y -+ E(Y |G) est une application linéaire.

Théorème 1.2.3. Soit Y une variable aléatoire positive ou intégrable sur (S), F, P) et G une sous - tribu. Alors E(Y |G) = Y si et seulement si Y est G-mesurable.

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Théorème 1.2.4. Soit Y E L¹(Ù, F, P) et si X est une variable aléatoire indépendante de Y , on a E(Y |X) = E{Y }.

Théorème 1.2.5. Soit X, Y des variables aléatoires réelles sur (Ù, F, P) et G une sous - tribu de F par rapport à laquelle X est mesurable. On a alors E(XY |G) = XE(Y |G, dans chacun de deux cas suivants:

(a) les v.a. X, Y et XY sont intégrables,

(b) les v.a. X et Y sont positives.

Théorème 1.2.6. [90] Soit _(Yn)n=1 une suite de variables aléatoires réelles sur (Ù, F, P) et G une sous - tribu.

(i) (Convergence monotone.)Si les Y_n sont positives et croissent p.s. vers une limite Y ,alors

limn?8 E(Y_njG) = E(Y |G) p.s. ;

(ii) (Lemme de Fatou.)Si les Y_n sont positives, on a E(lim _infn?8 Y_n|G) < lim inf E(Y_n|G) p.s.;

(iii) (Théorème de convergence dominée de Lebesgue.) Si les Y_n convergent p.s. vers une limite Y , et si on a Y_n| = Z pour tout n et pour une certaine v.a. Z E L¹(Ù,F,P),alors

lim n?8

E(Yn|G) = E(Y |G) p.s..