1.1.4 Produit des espaces mesurés
Définition 1.1.10. Soit
(Ù, ô, u) un espace mesuré. La mesure u
est dite ó - finie s'il existe une suite
(An)n E N d'éléments de
ô (que l'on peut supposer croissante) telle que
u(An) < oo pour tout k et que
Ù = U
An.
n
Proposition 1.1.5.1. Soient
(Ù1, ô1, u1) et
(Ù2,ô2, u2) deux espaces
mesu-rés,les mesures u1 et u2 étant toutes les
deux ó - finies. Il existe alors une unique mesure u1
®u2 : ô1 ® ô2 -+ [0,
oo] telle que,pour tout A E ô1,pour tout
B E ô2, on ait ô1 ® ô2(A
x B) = ô1(A) x ô2(B)(toujours avec la
convention 0 x oo = 0).
L'unique mesure positive sur la tribu produit est
appelé ainsi mesure produit de u1 et u2. Plus
généralement, si E désigne un
élément quelconque de ô1 x ô2, les
fonctions x E ó1 -+
u2(Ex), Ex := y E
ó2; (x, y) E E, y E
ó2 -+ u1(Ex),
Ex := y E ó1; (x, y) E E
sont respectivement (Ù1, ô1) - ([0,
oo], B) et (Ù2,ô2) - ([0, oo],
B) mesurables et on a
(u1 ® u2)(E) =
f1 u2(Ex)du1(x)
= f~2
u1(Ey)du2(y).
Théorème 1.1.6.
(Théorème de Fubini - Tonelli)[178] Soient
(Ùj, ôj, uj), j = 1, 2, deux
espaces mesurés, les mesures u1 et u2 étant
ó - finies ô1 ® ô2 la tribu
produit et u1 ® u2 : ô1 ®
ô2 -+ [0, oo] la mesure produit définie
à la proposition précédente. Pour toute fonction
f(Ù1xÙ2, B mesurable, les fonctions
Zx E Ù1 -+ Ù2
f(x, y)du2(y),
Zy E Ù2 -+ Ù1
f(x, y)du1(x)
sont respectivement (Ù1, B) et
(Ù2, B) mesurables et on a :
f(x, y)d[ui
®u2](x, y) = fel [ f~2
f(x, y)du2(y)]
du1(x)
fe1xÙ2
fg.22 [ fs~1 f(x,
y)du1(y)] du2(y)
Théorème 1.1.7.
(Théorème de Fubini)[178] Soit f une
fonction
(Ù1 xÙ2, B) mesurable et
intégrable relativement à la mesure produit u1
®u2.
11
Pour u1 presque partout dans SZ1, la
fonction fx : y E S22 -+ f(x, y) est intégrable
(relativement à la meure u2 ;de plus, la fonction x
-+ fÙ2 f(x,
y)du2(y)
se prolonge en une fonction (SZ1, B)
mesurable, intégrable relativement à la mesure u1 et
l'on a la formule :
fÙ1xÙ2 f(x, y)d[u1
® u2](x, y) = fÙ1 [ fÙ2 f(x,
y)du2(y)] du1(x).
1.1.5 Conditionnement et indépendance de
probabilité
[56] Si A est un événement de
probabilité P(A) > 0, la mesure de probabilité
conditionnelle, A étant donné, associe à tout
événement B la probabilité
P(B | A) := P(BnA)
P (A) .
La formule du conditionnement en chaine s'exprime en disant
que si n > 2 et A1, A2, ...,
An est une suite den événement tels que
P(A1, A2, ..., An) > 0, on a
l'identité :
P(A1, A2, ..., An) =
P(An | A1, ..., An_1)P(An_1 |
A1, ..., A2)...P(A2 |
A1)P(A1).
On dit qu'une suite (An)
d'événement est un système complet si
(i) i =6 j = AZ n Aj = Ø (les
événements sont deux à deux incompatibles)
(ii) P(En An) = En P(An) =
1 (presque sûrement l'un des événements
An se réalise).
Deux événements A et B sont
indépendants si l'on a P(AnB) = P(A)P(B). Soit
(Xn) une suite de variables (mutuellement)
indépendantes si pour toute suite finie (i1 < ... <
ir) d'entiers telle que r > 2 et toute
suite (B1, ..., Br) d'ensembles boréliens,
on a l'identité
P{XZ1 E
B1...XZr E Br} = P{XZ1 E
B1}....P{XZr E Br}.
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