Applications des intégrales stochastiques en macroéconométrie

1.1.2 Espaces vectoriels normés

Définition 1.1.8. Un espace préhilbertien (réel)(S2, h.i) est un espace vectoriel (réel) S2 sur lequel est défini un produit scalaire hi : S2 × S2 ? 18 vérifiant les propriétés suivantes :

(i) (Positivité)hx, xi > 0 si x =6 0, ?x ? S2

(ii) (Symmétrie)hx, yi = hy, xi,?x, y ? S2

(iii) _hc1x1 + _c2x2, yi = c1hx, yi + c2hx, yi pour tous c1, c2 ? 18,?x, y ? S2.

Ces propriétés ont pour conséquence immédiate l'inégalité de Cauchy -

Schwarz : |hx, yi| = hx, xi² hy, yi² et le produit scalaire induit une norme sur

X :

k x k= hx, xi².

Un espace de Hilbert est un espace pré-hilbertien complet.

Soient (S2, 3 , u) un espace mesuré. Si f ? ,C¹_p(S2, 3 ), alors

k f k1=k f k= ^fn |f|du.

Théorème 1.1.1. (Théorème de Hölder) Soit 1 = p = +8. Si f ? I[p(X, 3 , u) et g ? I[q(X, 3 , u), alors fg ? I[¹(X, 3 , u) et

k fg k1=k f k_pk g k_q

avec égalité lorsque 1 = p = +8 si et seulement si u - presque partout sur X, on a

k g kq_q |f(x)|p =k f kp_p |g(x)|q.

Théorème 1.1.2. (Théorème de Minkowski) Soit 1 = p = +8. Si f, g ? I[p(X, 3 , u), alors f + g ? I[p(X, 3 , u) et

k f + g k_p=k f k_pk g k_p

avec égalité lorsque 1 = p = +8 si et seulement si u - presque partout sur X, on a

k g k_p f(x) =k f k_p g(x).

Théorème 1.1.3. (Théorème de Riesz - Fisher) Soit 1 = p = +8. Si f, g ? I[p(X, 3 , u).L'espace (,Cp_u(X, 3 , kk_p) est un espace de Banach et la convergence en moyenne entraîne la convergence en mesure.

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Définition 1.1.9. Soit f = P^Mj=1 ÀjXA3 une fonction étagée positive sur un ensemble S2 muni d'une tribu r et u : r -+ [0, +oo] une mesure positive. L'intégrale de la fonction f relativement à la mesure positive u est, par définition, la quantité

ZÙ f(ù)du(ù) = Àju(Aj) E [0, +oo].

j=1
_XM

Soit S2 un ensemble, r une tribu sur S2,u : r -+ [0, oo] une mesure positive. On dit alors que la fonction étagée f est une fonction étagée intégrable sur (S2, r) relativement à la mesure positive u. Soient f et g deux fonctions étagées sur S2(muni de la tribu r) telles que f < g partout, on a

_{Z Z}

_Ù f(ù)du(ù) < Ù g(ù)du(ù)

1.1.3 Propriétés de l'intégrale des fonctions étagées positives

Les propriétés auxquelles se plie l'intégrale des fonctions étagées positives (additivité,positivité homogénéité,monotonie) pourront évidemment s'étendre à l'intégrale des fonctions mesurables positives. De fait, le résultat crucial ici est le théorème de Beppo Levi qui donne le résultat intéressant pour la convergence croissante des fonctions mesurables positives.

Théorème 1.1.4. (Théorème de Beppo Levi)[178] Soient _(fn)n>1 une suite croissante de fonctions (S2, r) - ([0, oo], B) mesurables sur un ensemble S2 muni d'une tribu r et f la limite de la suite f_n lorsque n tend vers +oo. Alors f est aussi (S2, r) - ([0, oo], B) mesurable et si u : r -+ [0, oo] est une mesure positive, on a ^RÙ fdu = limn-00(RÙ f_ndu) E [0, +oo] et que si À > 0, on a

R_Ù(Àf)du = ÀR_Ù fdu.

Théorème 1.1.5. (Lemme de Fatou) Soit S2 un ensemble,r une tribu sur S2, et u : r -+ [0, oo] une mesure positive. Soit (fn)n>1 une suite de fonctions

(S2, B mesurable, on a alors ^RÙ (lim inf_n f_n) du < lim infn I R fndu ^I .

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