Applications des intégrales stochastiques en macroéconométrie

Chapitre 1

Préliminaires mathématiques

Nous donnons un court résumé des théorèmes et définitions que nous allons utiliser dans les autres chapitres. Ce chapitre présente les fondements mathématiques élémentaires sur les théories de la mesure et intégration, probabilité, et des processus stochastiques.

1.1 Eléments de la théorie de la mesure et intégration

Définition 1.1.1. Soit X un ensemble abstrait (par exemple R). Une tribu (également appelée u - algèbre),e sur l'ensemble X est une famille de sous - ensembles de X telle que :

(i) X E e ;

(ii) VA E e,A^c E e ;

(iii) Si A_n E e, Vn E N alors _UnENAn E e.

e est donc une classe non - vide de parties de X. e est appelé la tribu des ensembles mesurables de X.

Nous considérons une fonction particulière qui permet entre autre de définir les fonctions en escalier : la fonction indicatrice notée 1A (également appelée fonction caractérique),application de X dans R.

Définition 1.1.2. [94] La fonction indicatrice de A est la fonction 1ç(x) valant 1 si x E A et 0 sinon .

lim infAn =

oo n=0

\oo k=n

X Ak = {w E S2, n>0

1Ac

< oo}

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On a les propriétés suivantes :

1Ù(x) = 1,

1_A,(x) = 1 - 1A(x),

1AnB(x) = 1A(x)1B(x).

Pour une réunion de deux ensembles, on a

1AUB(x) = 1A(x) + 1B(x) - 1AnB(x).

Définition 1.1.3. Soit (S2, T) un espace mesurable. Une subdivision de S2 est un ensemble finie D d'ensembles mesurables (D = {A1, ..., A_n} C T) qui sont mutuellement disjoint et dont la réunion est S2.

Définition 1.1.4. Soit (S2, T) un espace mesurable. Une fonction u : T ? R+ est appelée une mesure (sur l'espace mesurable (S2, T) ou sur la tribu T) si elle vérifie les conditions suivantes :

(i) u(0) = 0 ;

(ii) u est u - additive : si, pour tout n E N, on a A_n E T et si les A_n sont deux à deux disjoints (n =6 m A_n f1 A_m = 0), alors on a u(UA_n) = Ioon=0 u(An).

Définition 1.1.5. Un espace mesuré est un triplet (S2, T,u), où S2 est un ensemble, T est une tribu sur S2 et u est une mesure sur T.

La proposition suivante donne les propriétés d'un espace mesuré.

Proposition 1.1.0.1. Soit (S2, T, u) un espace mesuré. Alors u a les propriétés suivantes

(i) (additivité). Si A1, ..., A_n E T sont deux à deux disjoints, alors u(UAi) = Ini=1 u(Ai)

(ii) (Croissance). Si A, B E T avec A C B, alors u(A) < u(B),

(iii) (Continuité pour des suites croissantes). Si _(An)nEN est une suite croissante d'ensembles mesurables (Vn E N)

1.1.1 Limite inférieure et supérieure

Soit (S2, A) un espace probabilisable et A_n une suite d'événements de A.

Définition 1.1.6. La limite inférieure de la suite A_n est l'ensemble des w qui appartiennent à tous les A_n sauf peut - être un nombre fini

Définition 1.1.7. La limite supérieure de la suite A_n est l'ensemble des w qui appartiennent à une infinité de A_n

lim supAn =

n n=0

oo U k=n

X Ak = {w ? S2, n>0

1A~ = 8}

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