Applications des intégrales stochastiques en macroéconométrie

Introduction

Problématique

Les équations différentielles stochastiques constituent un choix naturel pour modéliser les systèmes dynamiques qui subissent les influences aléatoires [31]. Par exemples, Beaucoup de phénomènes tant naturels qu'économiques sont formulés sous forme des équations différentielles stochastiques [177], [166][167], [67].

Considérons un modèle économétrique qui se présente sous forme d'équation différentielle stochastique d'Itô paramétrique suivant

dXt = u(e, t, Xt)dt + u(19, t, Xt)dWt, t = 0, X0 = (,

où {Wt, t = 0} est le processus de Wiener standard, u : O × [0,T] × R ? R, appelé le drift coefficient et u : E × [0, T] × R ? R⁺, appelé le coefficient de diffusion. Ces coefficients sont des fonctions continues et les paramètres à estimer e et 19, O ? R, E ? R et E(0) < 8, sont des inconnus du modèle économétrique à estimer.

Le drift coefficient est appelé le coefficient de tendance ou damping coefficient ou translation. Le coefficient de diffusion est aussi appelé volatilité. Les coefficients de tendance et de volatilité sont respectivement la moyenne instantanée et la déviation instantanée du processus.

Sous les conditions lipschitzienne et de croissance linéaire sur les les coefficients u et u, il existe une solution forte unique de l'équation différentielle stochastique.

(1) condition lipschitzienne ku(t,x) - u(t,y)k = K|x - y| |á(t,x) - á(t, y)| = K|x - y|

et

(2) condition de croissance linéaire ku(t, x) - u(t, y)k² = K(1 + |x|²) |á(t, x) - á(t, y)|² = K(1 + |x|²)

Cette solution est appelée le processus de diffusion ou simplement diffusion, est une semimartingale markovienne forte continue.

En économie, les incertitudes dominent et rendent les décisions issues de la modélisation économétrique inefficaces. Pour prendre en compte ces incer-

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titudes observées ou non dans les variables et/ou paramètres les mathématiciens développent la théorie de processus stochastiques. La modélisation de l'économie dans son ensemble, macroéconomie, n'a pas de sens lorsque l'économiste ne tient pas en compte les incertitudes qui induisent les décideurs en erreur.

Cette étude se focalise à répondre aux questions suivantes : (i) Comment peut - on estimer les paramètres de modèles économétriques présentés sous forme des équations différentielles stochastiques? (ii) Comment peut-on estimer les paramètres stochastiques de modèles économétriques présentés sous forme des équations différentielles stochastiques suivant un processus stochastique?

Objectifs du travail

Cette recherche a trois objectifs : (i) présenter les outils et techniques de la modélisation stochastique en général et ceux des intégrales stochastiques en particulier; (ii) passer en revue l'aspect théorique existante des applications des intégrales stochastiques à la théorie d'estimations de paramètres des modèles mathématiques stochastiques [37],[170], [171], [172], [122], [124], [22], [116], [21], [116], [117], [110], [31], [177], [17], [98], [141]; et (iii) présenter les applications de calcul stochastique à la modélisation économétrique de l'économie congolaise en vue d'orienter les décideurs congolais.

Revue de la littérature

La littérature sur le calcul stochastique est abondante et dynamique date depuis les travaux pionniers de Wiener, Itô, Stratonovich, Fisk, et Skorohod[87], [45], [97], [155], [111], [135].Cette évolution rapide est due au développement technologie des outils informatiques. [149] ,[61], [95], [106],[145] [82], [31], [49], [146] , Les livres références sont ceux de [92], [58], [88], [25], [105], [87], [136], [162], [50], [149], [147], [150]. Le domaine de l'estimation statistique a subi des avancés de cette théorie [37], [172], [173], [170], [1], [171], [122]. Les propriétés asymptotiques telles que la consistance forte ou faible, la normalité asymptotique, l'efficience asymptotique, etc. pour certains estimateurs de paramètres drift des équations différentielles de Itô observés à travers l'intervalle de temps, ont été étudiés durant les quatre dernières décennies.

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La méthode de maximum de vraisemblance a été utilisée pour les équations différentielles stochastiques linéaires homogènes [154], [153] et les équations différentielles stochastiques non linéaires homogènes [115], [153]. Les méthodes d'estimation Bayésienne, de probabilité maximale, de contraste minimale, de M - estimation, et de distance minimale sont employées pour estimer les paramètres des équations différentielles stochastiques [115], [179]. Pour les équations différentielles stochastiques non linéaires et non homogènes, les méthodes de maximum de vraisemblance et Bayésienne [115], [154], [5]. Les études empiriques pour l'estimation des paramètres de processus de diffusion sont abondantes [153] , [5], [3],[4],[2], [116],[117].

La deuxième application des intégrales stochastiques de cette recherche est sur la théorie de filtre stochastique. L'objectif de filtre stochastique est d'utiliser les outils de probabilité pour estimer les processus stochastiques non observables qui apparaissent dans plusieurs domaines tels que la com-munication,target tracking, et la mathématique de finance [177]. Ces cinq dernières décennies les recherchent ne cessent de croitre abondamment dans l'estimation de paramètres des équations différentielles stochastiques et la théorie de filtre stochastique [22] , [173],[10], [23],[161], [110], [116], [21] , [31], [177], [16], [17], [98] , [141].

L'application de calcul stochastique en économétrie est très importante car les incertitudes gouvernent le monde économique. On peut dire qu'en économie, l'incertitude est par tout et pour tout. La modélisation économétrie classique suppose que les variables et les paramètres sont non stochastiques (déterministes) et que le terme d'erreur est aléatoire [46],[168][129], [131], [130], [72],[128], [127], [80], [130]. Cette modélisation suppose l'absence d'incertitudes dans les variables et les paramètres ce qui ne reflète pas la réalité.

En macroéconomie, par exemple, les politiques économiques prises sur base de cette modélisation sont erronées et inefficaces. Le calcul stochastique vient corriger en supposant que les incertitudes sont dans les variables et les paramètres. En économétrie des séries temporelles, par exemple, le concept stochastic a progressivement documenté la théorie économétrique pour mesurer l'incertitude observée. Avec les modèles GARCH ont utilité les concepts stochastic volatility Model pour mesurer la volatilité stochastique [57], [60],[36].

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Contribution scientifique originale

Cette recherche a comme contribution principale de tracer la nouvelle direction de la théorie économétrique basée sur les calculs stochastiques en comblant l'écart qui existe entre la théorie et la pratique.

En effet, cette étude a confronté la théorie de l'économétrie de processus de diffusion aux données congolaise théorie d'estimation optimale. Cette étude donne deux résultats : (i) pour la première application, le résultat de l'estimation montre que l'inflation observée à Kinshasa est un processus de diffusion généré par l'équation différentielle stochastique dont le coefficient de persistance est 54 pour cent(ii) pour la seconde, les contributions de différents facteurs explicatifs, les investissements et la main d'oeuvre, du bien - être économique congolais sont des processus stochastiques.

Hypothèses

Dans ce travail deux hypothèses ont été retenues à savoir : (i) cette recherche suppose que les variables et les paramètres sont des processus stochastiques, i.e., les incertitudes peuvent être observées ou non dans les variables et les paramètres du modèle économétrique. Pour bien appliquer les techniques aux données congolaises, deux modèles séparés ont été faits avec des données différentes. Dans le premier modèle suppose que la variable est un processus de diffusion et le second suppose que les paramètres des sont des processus stochastiques non observables.

Méthodologies utilisées

Pour des raisons de clarté,simplicité et synthèse, les démonstrations de théorèmes et propositions ne sont pas présentées ici mais le lecteur intéressé peut consulter les références mentionnées. Nous avons passer en revue la théorie des processus stochastiques en bien maitriser

Limitation du travail

Cette étude présente deux limites principales : (i) cette recherche fait appel aux théories mathématiques et statistiques complexes, (ii) les applications

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sont faites sur les données macroéconomiques congolaises.

Canevas du travail

Hormis l'introduction et la conclusion, ce travail est subdivisé en quatre chapitres. Le premier aborde les préliminaires mathématiques sur les processus stochastiques. Le deuxième chapitre introduit la théorie des équations différentielles stochastiques et les intégrales stochastiques. Le troisième présente les applications des intégrales stochastiques à la théorie de l'estimation statistique. Et le dernier chapitre présente deux applications de la théorie à l'économie congolaise.

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