1.3 Processus stochastiques
Dans cette section nous donnons une brève
présentation sur la notion des processus stochastiques tels que les
chaines de Markov, Martingales, les mouvements browniens.
1.3.1 Processus de Markov
Soit (S2, T, P) un espace de probabilité
et (E, B) l'espace des états, B désigne la
tribu des boréliens de E. Un processus Xt est un
processus de Markov si pour tout u et t > 0 et pour tout T
E B, on a
P(Xt+u E T|Xs, s < t) = P(Xt+u E
T|Xt)
Ce qui signifie que le processus ne dépend que du
dernier instant et non de tout son histoire.
La probabilité de transition pour passer de
l'état x au temps s à un étant
appartenant à T à l'instant t est notée par s
< t
Ps,t(X, T = p(s, x; t, T) = P(Xt E
T|Xt = x).
La fonction T -+ T) = P(Xt E T est une
probabilité sur T . La probabilité de transition vérifie
l'équation de Chapman - Kolmogorov qui s'écrit sous les
formées suivantes. Soit s < u < t tel que
Xu = y, on a
ZPs,t(X, T) = Ps,u(x, dy)Pu,t(y,
T).
et dans le cas d'un espace E dénombrable
XPs,t(X, z) = Ps,u(x, y)Pu,t(y, z).
yEE
Le processus Xt est un processus de Markov
homogène si pour tout sett de T, la transition
p(s, x;t, B) = p(x; ô, B)
ne dépend que de ô = t - s.
17
Processus de diffusion
Définition 1.3.1. [111] Un
processus de Markov Xt de réels dans Rn, a
< t < b, est appelé un processus de diffusion si ses
probabilités de transition {Ps,x(t, .)} satisfait les trois conditions
suivantes pour tout t E [a, b], x E Rn, et c >
0 ;
(1) limå?0 1 å
fy-x|=c Pt,x(t + e, dy) = 0
(2) limå?0 E fy-x|<c(yi
- xi)Pt,x(t + e, dy) = pi(t, x) existe.
(3) limå?0 E fy-x|<c(yi
- xi)(yj - xj)Pt,x(t + e, dy) = Qi j(t x) existe .
La condition (1) implique que le processus stochastique Xt
ne peut pas avoir des sauts instantanés ; De plus on observe que
pour tout c2 > c1 > 0 qui tend à 0
quand e -+ 0 dans l'équation (1). Il s'en suit que la limite
dans l'équation (2) est indépendante de la constante c.
De même, la limite dans l'équation (3) est aussi
indépendante de la constante c. Ainsi pi(t, x) et
Qi,j sont respectivement donnés( par
pi(t, x) = limå?0 É fRn(yi - xi)Pt,x(t + e,
dy) Qi,j(t, x) = limå?0 E fy-x|<c(yi -
xi)(yj - xj)Pt,x(t + e,dy)
Définition 1.3.2. [111] Le vecteur
p(t, x) = (p1(t, x), p2(t, x), ..., pn(t, x)) et
le paramètre Q(t, x) = [Qi,j(t, x)]i,j sont respectivement
appelés les coefficients dérive (drift) et volatilité
(diffusion) du processus de diffusion Xt.
Il est important de note qu'une classe spéciale de
processus de diffusion donnée par la solution des équations
différentielles stochastiques.
Processus de Lévy
Définition 1.3.3. [94] Un
processus Xt adapté à la filtration Tt
est un processus de Lévy si X0 = 0, si les
trajectoires de Xt sont continues à droite et avec des limites à
gauche (càdlàg) et tel que pour tout s, t > 0 la variable
Xt+s - Xt est indépendante de la tribu Tt
et de même loi que Xs.
Théorème 1.3.1. [94] Soit
Xt un processus de Lévy adapté à la filtration Tt
et de la loi ut.
(1) Les lois ut forment un sous - groupe de
convolution
ut * us = ut+s
(2) Les processus Xt satisfait la propriété de
Markov pour le noyau ZPt(x, A) = 1A(x + y)ut(dy)
18
Théorème 1.3.2.
[94](Lévy - Khintchine) La fonction caractéristique
d'un processus de Lévy Xt est de la forme
E(eièXt) =
e-tø(è)
où ø(è) est l'exposant
caractéristique de la loi indéfiniment divisible de Xt qui
s'écrit
(è) = iaè +1
2u2è2 + f(1 -
eièx +
ièx1(|x|<1))F(dx)
La quantité a est réelle, a E
1[8,ó > 0, et F est une mesure concentrée sur ]0,
+oo[ telle que
Le triplet (a, ó, F) est appelé
triplet de Lévy - Khintchine associé au processus
Xt.
Processus du second ordre [94],
Définition 1.3.4. Un processus Xt
est un processus du second ordre si E|Xt|2
< oo. Une série chronologique est un
processus du second ordre à temps discret.
Matrice stochastique
Une matrice carrée M dont ses composantes sont
toutes strictement positives est appelée matrice positive. Aussi une
matrice M des éléments réels est dite non
négative (notée M > 0) quand toutes ses
éléments sont non négatifs : (aij) > 0,
Vi = 1, 2, ..., N j = 1, 2, ...,
L. Une matrice M de N x N est une matrice
stochastique si ses éléments sont des nombres réels
satisfaisant les conditions suivantes [9] :
1 0 < (mij) < 1, Vi, j = 1,
2, ..., N
2 chaque colonne de M est une distribution de
probabilité,c'est - à - dire,
INi=1(mij) = 1 V
Les éléments de la matrice stochastique sont des
probabilités, des nombres réels dans l'intervalle fermé
[0, 1]. Conséquemment, les matrices stochastiques sont des
matrices non négatives. La première conséquence de ces
conditions est que toutes les puissances successives de Mp sont aussi
des matrices stochastiques :
|
N i=1
|
(mij)p =
|
XN i=1
|
(mij)p-1 =
|
N i=1
|
(mij)2 = ... =
|
N i=1
|
N i=1
|
(mik)(mkj) = 1
|
19
La seconde conséquence, lorsque on manipule une
distribution de probabilité d'une matrice stochastique, cette
dernière produit une autre une distribution de probabilité.
| 
