Chapitre 4
Applications aux processus
stochastiques temporels
Dans ce chapitre il sera question d'appliquer les
théoriques des équations et intégrales stochastiques
à la macroéconométrie. Les travaux relatifs aux
applications du calcul stochastique en économie en général
et en économétrie en particulier sont abondants et
récents. Nous pouvons citer à titre illustratif le modèle
Black - Scholes [33] qui a permis à ses auteurs Robert C.Merton et Myron
S. Scholes de remporter le prix Nobel en économie en 1997.
L'objectif de ce chapitre est d'appliquer ces techniques et
méthodes de modélisation macroéconométrique aux
données congolaises.
4.1 Revue empirique sur la modélisation stochastique
Dans cette section nous présentons en
résumé quelques modèles empiriques
développés par certains auteurs mentionnés dans .
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4.1.1 Modèle de Bachelier
Bachelier [15] a modélisé le prix des options
européennes qui se présente sous forme d'équation
différentielle stochastique suivante :
dXt = /3dt + udWt
où Wt est un processus gaussien avec une moyenne
nulle et une variance t, c'est - à - dire une martingale.La faiblesse de
cette formulation est que le prix peut être négatif [93].
4.1.2 Modèle de Black - Scholes
dXt = /3Xtdt + uXtdWt
4.1.3 Modèle de Cox - Intgersoll -
Ross
Le modèle Cox - Ingersoll - Ross [47] est utilisé
en mathématique financière pour modéliser
l'évolution des taux d'intérêt de court terme. Il s'agit
de la solution de l'équation différentielle
stochastique
/
dr(t) = k( - r(t))dt + u (r(t))dW (t), r(0) =
r0,
où k, , u sont des constantes et W(t)
est un mouvement brownien standard au temps t [41].
4.1.4 Modèle de Heath - Jarrow - Morton
Heart, Jarrow et Morton (1992) ont supposé pour une
maturité fixe T le taux instantané f(t, T) sous
une mesure donnée, suit un processus de diffusion
df(t, T) = á(t, T)dt + u(t, T)dW(t),
f(t,T) = fM(0,T),
avec T -~ fM(0, T) est fonction
instantanée au temps t = 0, et où W = (W1, ..., WN)
est un mouvement brownien de N dimension, u(t, T) = (u1(t, T), ...,
uN(t, T)) est un vecteur des processus adaptés et á(t,
T) est aussi un processus adapté.
4.1.5 Modèle de Vasicek
Le modèle de Vasicek est un modèle
mathématique qui tire son nom Vasicek (1977) suppose que le taux de spot
instantané suivait un processus d'Ornstein - Uhlenberg avec coefficients
constants [38]. Ce modèle se présente comme suit :
dr(t) = k[3 - r(t)]dt + udW(t), r(0) = r0,
où r0, k,3 et u sont
des constantes positives .
4.1.6 Modèle de Black - Karasinski
Le modèle de Black - Karasinski [32] est un
modèle mathématique appliqué en mathématiques de
finance. Black et Karasinski (1991) ont modélisé le comportement
du taux d'intérêt d'un titre conduit par le processus suivant :
d[Logr(t)] = (á(t) - 3(t)Logr(t)]dt +
u(t)dW(t), r(0) = r0, (4.1)
où r(0) est une constante positive et
á(t), 3(t) et u(t) sont des fonctions
déterministes du temps. Aussi dW(t) est un mouvement brownien
standard.
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