3.3.2 Filtre stochastique de Kalman - Bucy
Les ouvrages suivants nous ont permis d'élaborer cette
sous - section et peuvent être exploité par les lecteurs
intéressés ([44],[66],[18],[55]). On dérive
les équations pour les processus
-kt et ãt en utilisant l'équation
de filtrage
de Kalman - Bucy [100]. Ces processus sont supposés
être Gaussiens, qui ont les moments de n'importe quel ordre. Pour tout
t > 0 et pour ù E SZ étant
fixé,ðt(ù) est une mesure de
probabilité normale multivariée sur IRd. La
matrice ãt est non aléatoire. En effet,pour 1 <
i, j < d, nous avons ãt =
E(Xi
ij tXj t )-E(
it
jt )
X
X
|
-kt =
|
Z t Z t
àX0 + 0
(bs + bs
àXs)ds + 0
(bs +
ãshs)dvs.
|
L'existence et l'unicité du système
d'équations différentielles stochastiques sont données
respectivement dans les théorèmes suivants.
Théorème 3.3.1. ([177], Le
processus ( Xt, ít) est la solution unique au
système d'équations différentielles stochastiques
(3.20)-(3.21), avec vt étant un processus
brownien de dimension d donné par
t
vt = Yt - f (hs +
hs Xs)ds.
où Xt et ãt représentent respectivement la
moyenne conditionnelle et la ma-
trice covariance conditionnelle de la distribution normale
multivariée corres-
pondant à la mesure aléatoire ðt. En utilisant
le calcul d'Itô
Théorème 3.3.2. ([177],p.163)
Le processus ( àXt,ãt) est une
solution unique
du système des équations stochastiques.
56
Le processus ( Xt,ãt) est appelé le
filtre de Kalman - Bucy pour le modèle d'état - espace
stochastique.
3.3.3 Filtre stochastique optimal
Le Lemme suivant concerne l'estimation de la valeur d'une
variable aléatoire basée sur les informations disponibles
représentées par
Lemme 3.3.2.1. [177.1 Soit ? une variable
aléatoire à carré intégrable dans un espace de
probabilité (S2, F, P). Soit G une
sous - tribu de F , alors
E((? -
E(E(?|G)2)) = min{E((?
- ç)2) : ç E
L2(S2, F, P)}.
Très souvent,on sera intéressé par
quelques quantités qui sont des fonctions du signal en lieu et place du
signal lui - même.
Malgré que E(Xt | Tt) est le
meilleur estimateur de Xt,
f(E(Xt|Tt)) n'est pas le meilleur
estimateur de f(Xt) basé sur le critère des
moindres carrés ordinaires si f n'est pas une fonction
linéaire.
Soit ðt(·) - P(Xt E
· | Tt) la distribution de probabilité conditionnelle
régulière de Xt étant donné Tt
;
à [0, 1] tel que (i)Vù E
S2ðt(·, S2) est une mesure de
probabilité sur une variable aléatoire
l'espérance conditionnelle est donnée par
l'intégrale de f avec la distribution de probabilité
conditionnelle régulière ðt.
Rappelons que Cb(Rd) est
l'ensemble des fonctions bornées et continues sur Rd et
(ðt, f) est l'intégrale de la fonction f
conditionnellement à la mesure u. Le
théorème de Kallianpur - Stiebel est une formule de Bayes
utilisée en théorie de filtre pour calculer l'espérance
conditionnelle en considérant la mesure de probabilité
Pà.
Théorème 3.3.3.
(Théorème de Kallianpur - Stiebel) Le filtre optimal
peut être représenté comme suit
(ðt, f) = (ðt, 1),V)
(ðt,
f E Cb(Rd),
rd =
E(Mtf(Xt)|Tt).
Théorème 3.3.4. [177.1
(Equation de Zakai) Le filtre non normalisé Vt satisfait
l'équation différentielle stochastique suivante :
Z t Z t
(Vt, f) = (V0, f) + 0
(Vs, Lf)ds + 0 (Vs,
V*fc + fh*)dYs
57
où ,Cf = 1 Pd i,j=0 aij?2
ijf + Pd i=0 bi?i, fest le
générateur du processus signal 2
et la matrice A = (aij) est donnée par Ad x d =
CC* + óó*.
3.3.4 Approximation discrète - temporelle du
filtre de Kalman - Bucy
La revue de littérature sur l'approximation des
équations différentielles stochastiques est abondante [95],
[139],[140],[68],[105]. Les méthodes d'approximation les plus couramment
utilisées sont celles de type Taylor telles que les méthodes
d'Euler-Maruyama,de Milstein , de Runge - Kuta, et Crank - Nicolson.
Pour obtenir la solution numérique du filtre de Kalman
- Bucy, nous utilisons la méthode d'Euler au temps t = kä, k =
0,1, 2, · · · , dont les formules récursives
suivantes
àXä(k+1)ä =
àXäkä + (6kä +
bkäàXkä)ä + (ckä +
ãäkähkä)(íä(k+1)ä -
íäkä),
íä(k+1)ä =
íäkä + Y(k+1)ä - Ykä +
(hkä + hkä 50cä), et
ãä(k+1)ä =
ãäkä + (ãäkäbkä +
bkäãkä + akä - (ckä +
ãäkähkä)(ckä +
ãäkähkä).
Théorème 3.3.5
([177],p.165). Supposons que les coefficients
b,b, c et h sont des fonctions lipschitziennes et continues dans t.
Alors, il existe une constante K1 tel que
|
E max | {z }
kä<T
|
|ä ä 2
X(k+1)ä -
Xkä| + max | {z } kä<T
|
|íä(k+1)ä -
íäkä| -- K1ä.
|
3.3.5 Equations de Filtre de Kalman pour les processus
discrets
Plusieurs auteurs ont présenté le filtre de
Kalman [46], [44], [55],[66], [108], [77]. Cependant, le présent
résumé est tiré de (Leondes,p.241). Le modèle
dynamique se présente comme suit
Xk = ök-1Xk-1 + ùk-1,
ùk-1 ^' N(0, Qk-1) et l'équation de
l'état se présente
Zt = HkXk + õk, õk ^' N(0, Rk)
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les conditions initiales sont
E(X0 -
àX0|0)(X0 -
àX0|0) = P0|0,
E(wkv0j) = 0 pour tous k et j.
àXk|k-1 =
Ok-1àXk-1|k-1
error covariance propagation
Pk|k-1 =
Ok-1Pk-1|k-1(1)0k-1 +
Qk-1
state estimate update
[ ]
àXk|k =
àXk|k-1 + Kk Zk - H
àXk|k-1
error covariance update
[ ]
Pk|k-1 = I - KkHk
Pk|k-1
La matrice de gain de Kalman gain est donnée par
Kk = Pk|k-1Hk
[HkPk|k-1H0k + Rk] -1
59
| 
