Applications des intégrales stochastiques en macroéconométrie

3.2 Estimation des équations aux dérivées partielles stochastiques avec dérive linéaire

Soient U un espace de Hilbert séparable réel et Q un opérateur auto-adjoint positif. Supposons que l'opérateur Q est nucléaire [154]. Alors, Q admet une séquence des valeurs propres {ã_n, n > 0}, 0 < ã_n décroissant à zéro quand n -+ oo et ^I000 ã_n < oo. En plus,les vecteurs propres correspondants {í_n, n > 1} forment une matrice orthonormée dans U. On définit un mouvement brownien fractionnel à dimension infinie sur U avec une matrice de covariance Q comme

00

ù^H_ã (t) = _Nh_nø_nW_ã^H(t)

n=0

où W_ã^H(t), n > 0, sont des mouvements browniens fractionnaires avec l'indice de Hurst(cf.Tindel et al.2003). Soient U = L2[0, 1] et W_ã^H(t) un mBf à dimension infinie sur U avec comme indice de Hurst H et l'opérateur de covariance nucléaire Q. Considérons le processus

du_å(t, x) = (Au_å(t, x) + èdu_å(t, x))dt + ?dW_ã^H(t)

où A = ?2

?x2 .

Supposons que å -+ oo et è E O c R.Aussi nous supposons que les conditions initiales et aux limites bornées sont données par

u_å(0, x) = f(x), f E L2[0,1]

u_å(t,0) = u_å(t,1) = 0, 0 < t < T

Tindel et al.(2003) ont donné les conditions suffisantes pour l'existence et l'intégrité carrée d'une solution u_å(t, x) pour l'équation différentielle stochastique conduite par un mouvement brownien fractionnel à dimension infinie [154].

Nous supposons que les conditions suffisantes soient remplies, alors il existe une solution carrée intégrable unique u_å(t, x) de [? ] sous les conditions (3) et (4). Nous considérons cette solution unique comme une somme suivante

00

u_å(t, x) = ui_å(t)íi(x).

i=1

Alors le coefficient de Fourrier ui_å(t) satisfait l'équation différentielle stochastique

dui_å(t) = (è - ëi)ui_å(t)dt + ø

v1 + ëidwHi (t), 0 < t < T,

avec la condition initiale ui_å(0) = õi, uiå = f01 f(x)ãi(x)dx. Soit P⁽_èå) la mesure probabilisée générée par u_å quand le vrai paramètre. On suppose que è0 est le vrai paramètre et {ui_å(t), 0 < t < T} est un processus de type Urnstein - Uhlenberg fractionnaire [104], [153]. On définit

MHi(t)= ^ft kH(t, s)dW_iH(s), 0 < t < T,

0

Qi_å(t) = 1 + ëi d ft kH(t, s)ui_å(s)ds, t E [0, 1] ø dW_t^H

1

Zi_å(t) = (è - ëi) ^f Qi_å(s)ds + M^H_i (t),

0

alors il s'en suit que

Z t

ui_å(t) = 0 Kfiå

H (t, s)dZi_å(t),

fi_å(t) -- ø

et

ü 1 + ëi

alors M^H_i (t) est une martingale gaussienne de moyenne nulle. D'après le théorème de Girsanov - type tiré du livre [154]

dP T,å iè log T = dPièô	1 + ëi	1(è - è0) Jo Qiå(t)dZi (t)
	ø2

?

1

₂[(è - ëi)² - (è0 - ëi)2] ^ft Q2iå(s)dWtH ?

Soit u^N_å (t, x) la projection de la solution u_å(t, x) dans le sous - espace engendré par des vecteurs propres {ãi,1 < i < N}. Alors u^N_å (t, x) s'écrit

N

u^N_å (t, x) = ui_å(t)ãi(x).

i=1

De l'indépendance des processus {W_t^H, 1 < i < N} et les séquences des processus {ui_å,1 < i < N},

dP T,å iè log T = dPièo	N i=1	1 + ëi	? ?Z^t (è - è0) 0 Qiå(t)dZiå(t) ?
		ø2

53

?

[(è - ëi)² - (è0 - ëi)2] ^ft Q2iå(s)dWtH ?

54

En plus l'information de Fisher est donnée par

alog(k) IiE(B) = E9[^alog(k)]^2 = N 1 + Xi Eo(ff^t Q^2å(s)dWt^H) ae aez-i2 Jo où On peut vérifier que l'estimateur de maximum de vraisemblance

^àeN,å du

paramètre e basé sur la projection u^N_å de u_å est donné par

_PN v1 + Ai R0 t Qiå(t)dMH _i (t) i=1

^àeN,å =

PNi=1(1 + Ai)2 R0 t Q2iå(t)dWtH

On suppose que e0 est le vrai paramètre. On peut vérifier que e e = N

v1 + Ai ^R0t Qiå(t)dMHi(t)

-1

(^àN_,E- 0) PNi=1(1 +Ai)2R0 t Q2 iå(t)dW t H

On observe que Mi,1 = i = N, sont des martingales gaussiennes indépen-

^àeN,å est for-

dantes des moyennes nulles avec hMii = W^H, 1 = i = N. Théorème 3.2.1. L'estimateur de maximum de vraisemblance

tement consistent, c'est - à - dire,

^àeN,å ? e0 p.s. [Pè0] quand e ? 0. sous

condition que

N

f

^t(Ai + 1)QÉ(s)dW_t^H = X f ^T(Ai + 1)Q²_iå(s)dW_t^H ? 0p.s.[Pè₀] quand e ? 0. o i=0
3.3 Estimation des paramètres stochastiques

par le filtre stochastique

L'objectif de la théorie de filtre stochastique est d'estimer les processus stochastiques non observables qui apparaissent dans plusieurs domaines tels que l'économie, la communication, la finance, etc.( [98],[141], [18] [181],[? ],[? ] [111], Bertein et Ceschi (2007), [71] ,[177](2008), [17],[1],[23], [20],[85],[84],[109],[119],[133],[83],[176],[175],[169],[168],[165], [180], Bain et Cri-san (2009).

3.3.1 Formulation du modèle d'état - espace stochastique

Le problème de filtre consiste à estimer la variable stochastique non observable à partir de deux processus :le signal est celui l'on veut estimer et

55

le processus observation qui fournit les informations sur base desquelles les estimations sont faites.

Pour le processus observation Y(t),nous supposons qu'il est gouverné par l'équation différentielle stochastique suivante

dXt = ( bt + btXt)dt + _ctdWt + ótdBt, dYt = ( ht + htXt)dt + dWt,

où X0 est un vecteur aléatoire normale avec comme moyenne ^X0 E R^d et la matrice de covariance P0 E R^dxd, (Wt, Bt) est un mouvement Brownien de dimension (m x n) et les coefficients sont des matrices déterministes de dimensions respectivement de