Applications des intégrales stochastiques en macroéconométrie

2.4.3 Schéma de Heun

Soit l'équation différentielle stochastique de Stratonovitch suivante [94]

dXt = ?(t, Xt)dt + ó(t, Xt) o dBt

équivaut à équation différentielle stochastique d'Itô suivante

1

dXt = (?(t, Xt) + ₂ó(t, Xt)?_xó(t, Xt))dt + ó(t, Xt)dBt

qui discrétisée selon le schéma de Heun s'écrit

1 1

Xtn+1 = Xt_n + ₂h(?(t_n, _Xtn) + ?(t_n, _Ytn)) + ₂(ó(t_n, _Xtn) + ó(t_n, _Ytn) 4 B_n.

avec

Ytn+1 = Xt_n + ?(t_n, _Xtn)h + ó(t_n, _Xtn) 4 B_n.

Le schéma de Heun converge en moyenne quadratique et est d'ordre O(h²).

2.4.4 Méthodes de Runge - Kutta

Il y a plusieurs ouvrages qui traitent de l'application de méthode de Runge - Kutta aux equations différentielles stochastiques ( [157],[112], [95],[139]).

Dans le cas des équations différentielles stochastiques, les méthodes de Rung - Kutta utilisent deux vecteurs á et â et deux matrices A et B. Le schéma est de la forme

Xtn+1 = Xt_n + hö(t_n, _Xtn, h) + ø(t_n, _Xtn, h) 4 B_n.

où les fonctions ö et ø sont définies par

ö(t_n, _Xtn, h) = á2k2, á1k1, ..., árkr. ø(t_n, _Xtn, h) = â2l2,â1l1, ..., ârlr.

avec

k1 = ?(t_n, _Xtn), ..., kj = ?(t_n + cjh, Yj), l1 = ó(t_n, _Xtn), ..., lj = ó(t_n + cjh, Yj)

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et

Ytn+1 = Xt_n + h j-1 X aiuku + j-1 X bjuku A B_n.

u=1 u=1

Les vecteurs á et â vérifient

á1 + á2 + ... + á_r = 1,â1 + â2 + ... + â_p = 1,

Les éléments supérieurs de la matrice A sont nuls,aij = 0 si j > i et les coefficients cj sont les sommes des éléments d'une ligne de la matrice A

cj =

j-1 X k=1

ajk.

Si ?,â et toutes leurs dérivées sont bornées alors le schéma de Runge - Kutta converge en moyenne quadratique vers la solution Xt de l'équation d^'Itô suivante

dXt = (?(t, Xt) + ëó(t, Xt)?_xó(t, Xt))dt + ó(t, Xt)dBt avec ë = 0 si r = 1, et si r > 1

ë =

r j=1

bj

j-1 X u=1

bju.

2.4.5 Schéma de Platen

Dans le schéma de Platen, on utilise l'approximation des incréments du brownien et de leur intégrale. On pose

n+1

AU_n =

f(B_s - Bt_n)ds

n

Le schéma est de la forme

Xtn+1 = Xt_n + h?_n + ó_n A B_n + ₂ón?xón((ABn)² - h)

1

+ _ón?x?n A U_n + _(?n?x?n + ₂(ó²

¹_n?xxón)(h A B_n - AU_n) + ¹₂?xxón

avec

?_n = ?(t_n, _Xtn), ó_n = ó(t_n, Xt_n),

La converge de ce schéma est en O(h³).

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