Applications des intégrales stochastiques en macroéconométrie

2.4 Schémas numériques

On décrit dans cette section des méthodes numériques pour la résolution d'équations différentielles stochastiques développées dans les ouvrages

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de Kloeden et Platen [106], [105], Jentzen et Kloeden[95], [94].

Pour approcher numériquement l'équation différentielle stochastique

dXt = t9(t, Xt)dt + u(t, Xt)dBt,

on utilise des schémas aux différences classiques et le fait que pour un pas h donné les variables _{(B(n+1)h-Bnh)} suivent des lois gaussiennes indépendantes de variance h. On note xt le processus approché et on considère la subdivision 0 = t0 < t1 < .... < tN_1 < TN = T de pas régulier h = At = tn+1 - t_n. Dans le cas multidimensionnel t9 = (t91, ..., t9_n) et Xt = X1(t), ..., X_n(t)) sont des vecteurs de Rⁿ.

Le mouvement brownien a p composantes Bt = (B1(t), ..., B_p(t)) et crj(cr1 _j , ..., crn _j ) pour j = 1, ..., n.

L'équation s'écrit comme suit

dXt = t9(t, Xt)dt + _Xp uj(t, Xt)dBj(t),

i=1

et se traite de la même manière.

La vitesse de convergence forte du schéma est le plus grand coefficient á tel que

EMXT - xNhM = O(h^á)

et la vitesse de convergence faible est le plus grand coefficient 3 tel que E|Ef(XT) - Ef(xNh)| = O(h^â)

pour tout polynôme f.

2.4.1 Schéma d'Euler

On utilise l'approximation suivante

dXt dt '

Xt+h - Xt

h

valable lorsque le pas h = At est suffisamment petit. Sur un intervalle élémentaire [t, t + h], l'équation générique devient

Z t+h Z t+h

Xt+h ' Xt t t9(t, Xt)ds + t ó(t, Xt)dB_s,

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Le processus approché xt consiste à considérer les intégrands constants

xt+h = xt + h19(t, xt) + u(t, xt)(B(n+1)h - Bnh).

Le schéma d'Euler converge en moyenne quadratique vers Xt quand h tend vers 0. La mauvaise convergence de ce schéma est due à la présence de l'intégrale stochastique dont la majoration est trop grossière. Pour remédier à cela on introduit le développement de Taylor.

2.4.2 Schéma de Milstein

Les ouvrages qui traitent dans l'application de la méthode de Runge - Kutta aux equations différentielles stochastiques ( [139],[157][112], [95]).

On remplace le processus Xt par une approximation _Xtn. On a

1

Xt = Xt_n + 19(t_n, Xt_n)h - ₂u(t_n, Xt_n)axu(tn, Xt_n)h

+ u(t_n, _Xtn) A B_n + u

₂(tn, Xt_n)axu(tn, Xt_n)(AB_n)².

1

dans le cas multidimensionnel avec les notations précédentes et sous la condition que

?xój.ók = ?xók.ój

Xtn+1 = Xt_n + 19(t_n, _Xtn)h + E crj(t_n, Xt_n) An+1 Bj

uk(t_n, Xt_n)cj(tn, Xt_n) An+1 ^Bj _An+1 Bk

_E

k<j

E p

+

j=2

1

2

+

_Ep i=1

cj(t_n, _Xtn)cj(tn, Xt_n)((ABj)² - h).

avec

ABj = Bj(tn+1) - Bj(t_n)

. La convergence forte du schéma de Milstein vaut 1. Ce schéma est donc meilleur que le schéma d'Euler, mais plus compliqué à programmer. En utilisant des développements d'ordre supérieur, on peut espérer améliorer la convergence.

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