Applications des intégrales stochastiques en macroéconométrie

2.3.2 Intégrale Stochastique de Stratonovich

L'intégrale stochastique de Stratonovich est une application du calcul d'Itô. Elle constitue un outil puissant dans la résolution des équations aux dérivées partielles stochastiques. Cette étude réfère aux livres [111],[145]. On considère une intégrale simple dans le calcul de Leibniz - Newton :

f

b f(x)dx = F(b) - F(a). L'égalité correspondante dans le calcul d'Itô est donné par

Z b

a f(B(t))dB(t) = F(B(b)) - F(B(a)) - 2 f b f(B(t))dt.

La différence entre les deux formules susmentionnés est le terme additionnel dans l'intégrale d'Itô. Ce terme est une conséquence de la variation quadratique non nulle du mouvement Brownien B(t). Mais aussi il est une conséquence de la définition de l'intégrale d'Itô.

Définition 2.3.3. ([111],p.120) Soient Xt et Yt deux processus d'Itô. L'intégrale stochastique de Stratonovich de Xt sachant Yt est définie par :

f

b b 1 b
Xt o dYt = XtdYt + 2 L (Xt)(dYt), a a

ou par sa forme différentielle équivalente :

1

Xt o dYt = XtdYt + ₂(Xt)(dYt).

Proposition 2.3.4.1. Soient x et y deux semimartingales. La différentielle et l'intégrale sont données par y o dx = y.dx + ¹₂dy.dx et ^f0t odx = f^t₀(y, x)t oï3/4¹₂ o est le produit de Stratonovich.

(1) Soient x et y dans S_c,alors l'intégrale se Stratonovich - Fisk s'écrit :

f0t y o dx = E yTi+yTi+1

2 (xTi+1 - xTi) en probabilité.

(2) Si ni x ni y est dans A_c, alors ^f0t y o dx = f0t ydx.

Les propriétés importantes de l'intégrale stochastique de Stratonovich sont énoncées dans le théorème suivant.

Théorème 2.3.5. Les propriétés de l'intégrale stochastique de Stratonovich sont les suivantes :

(1) x o (dy + dz) = x o dy + x o dz,

(2) (x+y)odz=xodz+yodz,

(3) x o ( dy.dz) = (x o dy).dz,

(4) x o ( dy.dz) = x o ( dy.dz) ou x o ( dy.dz) = (x.y) o dz.

Théorème 2.3.6. Supposons que x1, x2, ..., xd sont des semimartingales continues. De plus,on suppose que U est un sous- ensemble ouvert de R^d et que (x1, x2, ..., xd) E U pour tout t , avec une probabilité égale à 1. Soit f : U -+ R de classe C³. Alors,

f(x1, x2, ..., xd) = Edi=1 aif(x1, x2, ..., xd) o dxⁱ.

Nous pouvons poser la question suivante : est-que l'intégrale de Stra-tonovich ^fab f(t) o dB(t) peut - elle être définie comme la limite de somme de Riemann ? La réponse à cette question pour une fonction f(t, B(t)) est donnée par le théorème suivant.

Théorème 2.3.7. [111] Soit f(t, xt) une fonction de classe C². Alors,

Za

b f(t, B(t)) o dB(t) = lim |{z} IIonII-+0

Xn i=1

1 f(t* i , 2(B(ti_1) + B(ti)))(B(ti) + B(ti_1),

41

en probabilité, où ti_1 < tz < ti, O_n = {t0, t1, ..., _{tn_1,} t_n} est une partition de

l'intervalle fini [a, b] et II On II= max | {z } 1<i<n

(ti - ti_1).