2.3 Intégrales stochastiques
Dans cette section, nous présentons de façon
brève, sans démonstration, certains théorèmes et
définitions sur les intégrales stochastiques d'Itô et
Stratonovich.Les intégrales stochastiques jouent un rôle important
dans l'évaluation des équations différentielles
stochastiques. Pour constituer cette partie nous avons consulté certains
ouvrages( voir [87], [111],[146], [155], [90], [164], [43], [23], [24]).
2.3.1 Intégrale Stochastique d'Itô
Avant de définir l'intégrale d'Itô , on va
définir l'intégrale de Wiener pour le mouvement Brownien. Soit
f une fonction déterministe et f E
L2[a, b].
Définition 2.3.1. ([111],p.11)
L'intégrale de Wiener de f est notée par
Za
b f(t)dB(t) ou f b
f(t)dB(t, w)
a
Théorème 2.3.1. Pour chaque
f E L2[a, b],l'intégrale de Wiener
fab f(t)dB(t) est une variable
aléatoire Gaussien de moyenne nulle et de variance
II f II2= fa b f(t)2dt.
Ainsi,l'intégrale de Wiener I :
L2[a, b] ? L2(Ù) est une
isométrie Car elle préserve le produit scalaire comme
montre le corolaire suivant.
Corollaire 2.3.1.1. Si f, g E
L2[a, b], alors
Z b
E(I(f)I(g)) =
a f(t)g(t)dt.
En particulier,si f et g sont orthogonales
alors les variables aléatoires Gaussiennes I(f) et
I(g) sont indépendantes.
Théorème 2.3.2.
([111],p.12) Soit f une fonction continue de variations
bornées. Alors pour presque tout w E Ù,
fab f(t)dB(t))
(w) = fb f(t)dB(t,
w),
a
où à gauche comme à droite de
l'équation ci-haut, il s'agit respectivement de
l'intégrale de Wiener et Riemann -Stieltjes.
Le théorème suivant donne la formule
générale d'Itô.
Théorème 2.3.3. ([111],p.103)
Soit Xt un processus d'Itô donné par
Xt = Xa + f t
f(s)dB(s) + f t g(s)ds, a
< t < b.
a a
Supposons que Z(t, x) est une fonction
continue avec les dérivées partielles
continues ?Z ?t,?Z
?x,?2Z
?x2 . Alors Z(t, Xt) est aussi un
processus d'Itô et
Z(t, Xt) = Z(a,
Xa) + ft Ox
(s,
Xs)f(s)dB(s)
ds.
t 2
ât (s, Xs) +
Ox
+ f(s,
Xs)f(s)21
s
(s, X
)g(s) + 2 âx2
38
Avant de présenter la formule d'Itô de dimension
n,nous donnons d'abord la définition d'une matrice
stochastique.
Définition 2.3.2. ([28],p.7) Soit
N un entier strictement positif. Une matrice P de taille N xN est une matrice
stochastique si ses éléments de matrice pij =
(p)ij satisfont
0 < pij < 1, Vi, j,
et
XN pij = 1, Vi. j=1
Soient B1(t), B2(t), ...,
Bn(t), n mouvements browniens
indépendants.
On considère n processus d'Itô
x(1)
t , x(2)
t , ..., x(n)
t , données par
|
xt = x(0) +
(i)
|
m t
X f fij(s)dBj(s) +
f gid(s), 1 < i < n,
j=1 a a
|
ou fij E
Lad(Ù, L2[a, b]) etgi E
Lad(Ù, L1[a, b]), V
1 < t < n et 1 < t < m. Sous forme
matricielle,
|
?
?
B(t) = ?
|
B1(t)
...
Bm(t)
|
? ? ? ? ?
(1)
xt g1(t)
? , Xt =?...?, g(t) =?
?... ?
x(t) gn(t)
m
|
,
?
?
f(t) = ?
?
f11(t) ...
f1m(t)
?... ... ... ?
fn1(t)
... fnm(t)
39
L'équation (1) peut être écrite comme suit
:
Xt = Xa + f t
f(s)dB(s) + f t g(s)ds, a
< t < b.
a a
~ ~
On suppose que ø t, x(1)
t , x(2)
t , ..., x(n) est fonction continue
sur
t
[a, b] x Rn et a des
dérivées partielles continues
?Ø?t , ?xi
?Ø, ?2Ø
i,j < n.
?xi?x; , pour , 1 <
La différence totale stochastique de Ø(t,
x(t)(1), x(t)(2),
..., x(t)(n)) est donnée par
dØ(t, x1(t),
x(t)2 , ...,
xn(t)) = ?Ø?t
(t, x(t)(1),
x(t)(2), ...,
x(t)(n))dt
X ?Ø
+ ?t (t, x1(t),
x2(t), ...,
xn(t))dxi(t)
1 X ?2Ø
+?x(t)i?x(t)j
(t, x(t)(1), x(2)
t , ...,
x(t)(n))dx(t)(i)dx(t)(j)
2
où le produit dx(i)
t dx(j)
t doit être calculé en utilisant la table
d'Itïô suivante
x dBj(t) dt
dBj(t) äijdt 0
dt 0 0
Le produit dBi(t)Bj(t) = 0
pour i =6 j est l'expression symbolique du fait suivant.
Soient B1(t) et B2(t) deux mouvements
browniens indépendants et soit
40
On = {t0, t1, ...,
tn} une partition de [a, b]. Alors
>(B1(ti) -
B1(ti1)(B2(ti) - B2(ti1)
-+ 0 dans L2(Ù) quand
On = max(ti - ti_1) -+ 0.
Soit M(t) une martingale continue à
droite avec des limites à gauche finies tel que
E(M(t)2) < oo pour chaque
t E [a, b].
Théorème 2.3.4. Soient
M(t) une martingale continue de carrée
intégrable et F une fonction continue de classe C2.
Alors,
F(t, Mt) = F(a,
Ma) + fat ?t (s, Ms)ds x
+ fa dMs + 2 fa
a2x2 (s,
Ms)d(M)s
| 
