2.2.1 Equations différentielles stochastiques
ordinaires
Soit W(t) un processus stochastique satisfaisant le
système suivant :
dW(t)' =
á(W(t), t) + u(W(t),
t)dW(t), W(0)' = W0
avec á(x,t) =
(á1(x,t),· · ·
,án(x,t)) et
cr(x,t) = uij(x,t), 1 =
i,j = n. On suppose que á(x, t) et
u(x, t) sont mesurables dans Rn
×[0, T], et satisfaisant les conditions
suivantes :
(1) condition lipschitzienne ku(t, x)
- u(t, y)k = K|x - y|
|á(t,x) - á(t,y)| =
K|x - y|
(2) condition de croissance linéaire
ku(t, x) - u(t, y)k2 =
K(1 + |x|2) |á(t, x) -
á(t, y)|2 = K(1 +
|x|2)
et W0 est indépendant du mouvement brownien
W(t),
E | W0 |2< 8.
Théorème 2.2.1
(Théorème de l'existence et unicité de
solutions). Soient les équations ??
et Alors,il existe une solution unique W de kkkkkkkkkkk
et dans M2 w[0,
T]. L'unicité signifie que si W est une autre solution
dans M2 w[0,T],
alors
P[W(t) =6 W(x)] = 0,
34
Démonstration. On va démontrer
l'existence et l'unicité de la solution de l'équation
différentielle stochastique. Pour l'existence, on définit
Z t Z t
Øm+1(x) = Ø0 + 0
á(Øm(s), s)ds
+ 0
u(Øm(s),
s)dcw(s), m > 0
et on fait par induction que Øm ?
M2w[0, T] et
E | Øk+1(t) -
Øk(t) |2 = (Mt)k+1
(k + 1)! pour 1 = k = m -
1,
où M est une constante positive
dépendante de k et T. Il est facile de
démontré que existe pour k = m et
Øm+1 ? M2w[0,
T]. Ensuite, on trouve que
|
E sup
|{z}
0<t<T
|
| Øm+1(t) -
Øm(t) |2= C(MT
)m
m! .
|
|
Par conséquent P( sup
|{z}
0<t<T
|
| Øm+1(t) -
Øm(t) |>1
2m) =2mC(MT )m
m! .
|
Le Lemme de Borel - Cantelli implique que
|
P( sup
|{z}
0<t<T
|
| Øm+1(t) -
Øm(t) |> 1
2m i.o) = 0.
|
Ainsi pour tout w, il existe m0 =
m0(t) tel que
(sup | Øm+1(t) -
Øm(t) |> 1
2m) = 0. si m0 =
m0(w).
Il s'en suit que la suite Ø0 + Pô
(Øm+1(t) - Øm(t))
converge uniformément
dans t ? [0,T].
En notant la limite par 0(t) nous avons en
suite
2.2.2 Equations aux dérivées partielles
stochastiques
Dans cette section, nous allons étudier les
problèmes de certaines classes des équations aux
dérivées partielles stochastiques du premier et deuxième
ordre.
Soit l'équation aux dérivées partielles
stochastiques du premier ordre
Z t
u(x, t) - f(x) = 0
F(x, u, ux, ?ds)
où ?ds représente l'intégrale
stochastique de Stratonovich. Le théorème suivant prouve l'existe
et l'unicité des solutions de l'équation aux
dérivées partielles linéaires du premier ordre.
Théorème 2.2.2.
(Théorème de l'existence ) On suppose que la
fonction F de l'équation ( ? ? ?) est une Ck,ä -
semimartingale continue avec la caractéristique locale appartenant
à la classe
(Bk+1,ä,
Bk,ä) pour quelque k = 4 et
35
S = 0 et f est une fonction de Ck,ä.
Soit (çot, 17t, Xt) la courbe caractéristique
stochastique de l'équation. La fonction u(x, t) est définie
par
~ ) [ ]
u(x, t) = ç ?_1(x) , t
? 0, u(x) ,
est une solution locale de l' équation (2.7). De plus,
elle est une Ck-1,å - semimartingale continue locale
pour tout > 0.
Avant la démonstration du théorème, nous
donnons le lemme suivant qui va aider à démontrer ce
théorème de l'existence et de l'unicité de solutions de
l'équation aux dérivées partielles linéaires du
premier ordre.
Lemme 2.2.2.1. Soit ?i =
?-1
d . Les relations suivantes sont alors
vérifiées :
Le théorème suivant donne la condition de
l'unicité de solution de l'équation aux dérivées
partielles stochastiques du premier ordre annoncée ci - dessus.
Théorème 2.2.3 (Unicité de
solution). Nous supposons que les mêmes
condi-
tions pour F et f .[ ]
Soit u(x, t), t ? 0, cr(x)une solution locale
arbitraire de l'équation 5 tel
qu'elle est une Ck-1,å -
semimartingale pour > 0. Alors elle peut s'écrire comme suit
:
[ ]
u(x, t) = çt ?
øt(x) pour t ? 0, T (x) ?
u(x)
Définition 2.2.1. ([87]) Soit Xt
une semi - martingale continue, c'est - à - dire, un processus
représenté sous la forme suivante :
Xt = X0 + Mt + At
où X0 est une variable aléatoire .T
- mesurable, Mt est une martingale et At est la partie variationnelle
fermée.
On présente le problème à valeurs
initiales des équations aux dérivées partielles
stochastiques du second ordre à coefficients aléatoires suivant
:
Z t d Z t
0 F i(x, ?ds) ?u
u(x, t) = f(x) + 0 Lsu(x, t)ds
+ ?xi (x, s)
i=0
Z t
+ 0
Fd+1(x, ?ds)(x, s),
où Ls est un opérateur
elliptique de la forme ,
1 XLsu =
ij
?
2
2 a
(x, s)
aaxj+ bi(x's)ax Ou
+ d(x, s)u i i
36
et le domaine aléatoire (F1,
F2, ..., Fd+1) sont des
fonctions Ck,d - semimar-tiangale satisfaisant la condition
(D1)k,ä pour tout k > 3 et
ä > 0 tous deux pour avant et arrière direction. Les
différentielles Fi(x, ods) sont les
différentielles de Stratonovich. Dans le séquentiel, nous
supposons que les coefficients de l'opérateur Ls
satisfont la condition suivante (D2)k,ä
pour tout k > 3 et ä > 0. La condition
(D2)k,ä, il existe une fonction non
négative et symétrique continue aij(x, y,
s) appartenant à la classe Ck+1,ä
ub telle que
aij(x, s) =
aij(x, x, s). La fonction d(x,
s) est continue en (x, s) et de classe Ck,b.
De plus aij et d
(1+|x|) sont des fonctions bornées
Ldu = 2 E Ëij(x,
y, t) ?xiaxj E
[Ëi,d+1(x,y,t) +
Ci(x,t)J?xi t=1
1
+ 2
D(x, t) +
Ëd+1,d+1(x, y, t)u
où Ci(x,l) = Ed
?azyz 1(x, y, l) . En
faisant recours à l'intégrale d'Itào,
y=x
l'équation (1) peut être écrite comme suit
Z t
u(x, l) = f(x) + 0
(Ls + Ls)u(x,
l)ds
d r ?u r
+ E f Fi(x, ds) ?xi
(x, s) + f
Fi(x, ds)u(x, s)
r=1
En effet, les intégrales de Stratonovich sont
représentées par
Z0
r au r ôu 1 au
Fi(x, ods) =
Fi(x, ds) + (F(x, t),
)
?xi o axi 2 axi
fr au 1 r d ?2u
Fi (x, ds)
+ Ëj (x, x, s) ds
o ?xi 2 ( fo 0 i axi?xj
r d ?Ëij ?u i,d+1
?u
+ + Ë (x, x, s) ds
Jo ?yi y=x ?xj
?xi
j=1
+f
r?Ëz?(x,y,s)
udsl
o ?y y=x /
37
De façon similaire, nous avons
lot
Fd+1(x,ods)u
= J t Fd+1(x, ds)u + 2
{ f t [Ëd+1(x,x,s)?xjids
f
t d+1 d+1 1
o J
d t
En substituant ces relations dans l'équation (1), nous
obtenons l'équation (4). Inversement, soit u(x, t) un
C2- processus continu satisfaisant l'équation
représentée par les intégrales
d'Itào suivantes
u(., t) = f + f
Ësu(s)ds + E f
Fi(., ds)?x + f t
Fd+1(.,
ds)u(s).
i=1
Si la fonction u(x, t) est une
C2 - semimartingale, elle est
représentée par
l'équation (1), en remplaçant
Ls par Ës -
Ls où Ls
est définie par l'équation 3.
| 
