Chapitre 2
Equations Différentielles et
Intégrales Stochastiques
Ce chapitre a comme objectif de donner la formulation des
équations différentielles stochastiques en clarifiant la
différence entre équations différentielles stochastiques
ordinaires et partielles. Certes, beaucoup de phénomènes
aléatoires tant naturels qu'économiques apparaissent dans un
environnement incertain et peuvent être modélisés sous
forme d'équations différentielles. Le développement plus
détaillé, avancé et récent des équations
différentielles et intégrales stochastiques peut être
trouvé dans les ouvrages [88],[89][12],[54], [92].
2.1 Calculs stochastique
Définition 2.1.1. [87] Pour X et Y
E Q, on dit que X et Y sont équi-valent,i.e.,
X Y si X(t) - X(s) = Y (t) - Y (s) p.s.
pour tout 0 s t.
clairement cette relation est une relation
d'équivalence. La classe d'équivalence contenant X est
représentée par dX et appelée
différentielle stochastique de X. Par
définition, js t dX(u) est le processus X(t) -
X(s).
Soit dQ = {dX;X E Q}, di =
{dM;M E i} et d = {dA;A E }. On
introduit les opérations algébriques suivantes :
(i) Addition : dX + dY = d(X + Y ), pour X, Y E
Q.
(ii) Multiplication : dX.dY = (MX, MY ), pour X, Y
E Q. où MX et MY sont les parties martingales
respectivement de X et Y .
(iii) â - multiplication : si ö E
â et X E Q alors
Z t Z t
(ö.X) = X(0) + 0 ö(s, w)dMX(s)
+ 0
ö(s, w)dAX(s), t > 0
est définie comme un élément dans
Q.
Comme d(ö.X) est uniquement définie a
partir de ö et dX. Maintenant on définit un
élément ö.dX de dQ par
ö.dX = d(ö.X)
.
Théorème 2.1.1. [87] L'espace
de dQ avec les opérations (i) - (iii) est une algèbre commutative
satisfaisant aux relations suivantes :
1. ö.(dX + dY ) = ö.dX + ö.dY
2. ö.(dX.dY ) = (ö.dX).dY
3. (ö + ø)dX = ö.dX + ø.dX
4. (ö.ø).dX = ö.(ø.dX)
pour ö, ø E â et dX, dY E dQ.
Si X1, X2, ...,
Xd E Q et f est une fonction continue de classe
C2 alors Y = f(X1,
X2, ..., Xd) E Q et la
différentiation totale de la fonction f est
|
dY =
|
d i=1
|
d
(?if).dXi + E
(?i?jf).dXi.dXj, 2i,j=1
|
32
où ?if et ?i?jf sont les
éléments de â définis respectivement par
?xi (X1, X2, ...,
Xd) et ?2f
?f ?xi?xj (X1,
X2, ..., Xd).
Si dX1, dX2,....,
dXd E du et dXidXj = äijdt, i, j = 1,
2, ...., d, alors (X1(t),
X2(t), ..., Xd(t)) est une martingale de
Wiener de d dimensions.
33
2.2 Equations différentielles stochastiques
Cette section donne quelques notions importantes sur les
équations différentielles stochastiques. L'objectif poursuivi ici
est de faire la différence entre les équations
différentielles stochastiques ordinaires et les équations aux
dérivées partielles stochastiques. Ces formulations
mathématiques ont une importance capitale car beaucoup de
phénomènes stochastiques, par exemple économiques, sont
produits en suivant ces types de modèles statistiques ([7],[8],
[34],[26], [151],[58],[62],[87],[95],[101],[107],[68],[114],
[113],[138],[145],[149],[62], [156],[88], [89],[162]).
| 
