Applications des intégrales stochastiques en macroéconométrie

1.3.7 Martingales et Semimartingales

La notion fondamentale dans l'analyse des processus markoviens est celle de martingale. Les martingales forment aussi la base de la théorie moderne d'intégration stochastique. Elles jouent un rôle important dans l'analyse des chaines markoviennes et des processus markoviens.

Définition 1.3.19. (Martingale) Un processus (Xt)t E T adapté est appelé surmartingale si E[Xt] < oo pour tout t E T et E[Xt | 3_s] < X_s,p.s. pour tout 0 < s < t,s, t E T. X est une sous-martingale si -X est une surmartingale. On dit que X est une martingale si elle est à la fois une surmartingale et une sous - martingale.

Un exemple important de martingale est le mouvement brownien. Théorème 1.3.10. (Convergence des martingales)

(1) Soit X = (Xt)t>0 est une surmartingale cád-lág bornée dans £1 ( en particulier si elle est positive). Alors Xt converge p.s. quand t -+ +oo.

(2) Soit X = (Xt)t>0 est une martingale cád-lág dans £¹ (en particulier si elle est positive). Alors Xt est uniformément intégrable si et seulement si Xt converge p.s. et dans £¹ quand t -+ +oo vers une variable aléatoire X+oo. Dans ce cas,X+oo ferme X à droite, i.e. Xt = E[X+oo | 3t] pour tout t > 0.

Théorème 1.3.11. (Théorème d'arrêt des martingales) Soit M =(Mt)tET une martingale càd-làg et u, r deux temps d'arrêt bornés à valeurs dans T tel que u < r. Alors

E[M_ô | 3_ó] = M_ó,p.s.

Corollaire 1.3.11.1. Soit X = (Xt)tET un processus càd-làg adapté.

(1) X est une martingale si et seulement si pour tout temps d'arrêt r borné à valeurs dans T, on a X_ô E £¹ et

(2) Si X est une martingale et r est un temps d'arrêt alors le processus arrêt X^ô est une martingale.

Théorème 1.3.12. [150](Inégalité de Doob) Soit X = (Xt)tET une sous-martingale positive ou une martingale càd-làg. Alors pour tout temps d'arrêt

r à valeur dans T,on a : ~ P sup |{z} 0=t=ô		~= E | Xô | | Xt | = ë ë ,?ë > 0
~ E sup |{z} 0=t=ô	~ Xt | =(pp )p E[ | Xô |^pi,?A> 0 - 1

Définition 1.3.20. (Martingale locale) Soit X un processus càd-làg adapté. On dit que X est une martingale locale s'il existe une suite de temps d'arrêt

(rn)n=1 telle que lim |{z} n?+8

rn = +8 p.s. et le processus arrête X^ônest une

martingale pour tout n.

Proposition 1.3.12.1. Soit M = (Mt)t?T une martingale locale. Supposons

~que E sup |{z} 0=t=ô

~| Ms | < +8, ?t ? T. Alors M est une martingale.

Proposition 1.3.12.2. Soit M une martingale locale positive telle que M0 ? £¹. Alors M est une surmartingale.

Proposition 1.3.12.3. Soit M = (Mt)t?T une martingale locale continue M0 = 0. Alors si M est à variation finie,M est une indistinguable de 0.

Théorème 1.3.13. (Variation quadratique)

(1) Soient M = (Mt)t?T et N = (Nt)t?T deux martingales locales dont l'une des deux est localement bornée (par exemple continue). Alors il existe un unique processus prévisible à variation finie, noté hM, Ni, nul en 0, tel que MN - hM, Ni soit une martingale locale.Cette martingale locale est continue si M et N le sont. De plus, pour tout t ? T,si 0 = tⁿ₀ = tⁿ₁ = ... = tⁿk_n = t est subdivision de [0, t] de pas tendant vers 0, on a :

hM, Nit = lim n?+8

Xkn i=k

(Mt^ni - Mtni-1)(Ntni - Ntni-1),

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au sens de la convergence en probabilité. Le processus hM, Ni est appelé Crochet (Oblique) de M et N On dira de plus que M et N sont orthogonales si hM, Nh= 0 ce qui signifie que le produit MN est une martingale locale.

(2) Lorsque M = N, le processus hM, Ni, noté parfois hMi et appelé la variation quadratique de M ou le processus croissant de M, est croissant. De plus, on a la relation de polarisation

hM, Ni = ¹₂(hM + N, M + Ni - hM, Mi - hN, Ni).

L'inégalité suivante est utile pour définir l'intégrale stochastique.

Proposition 1.3.13.1. (Inégalité de Kunita - Watanabe) Soient M et N deux martingales locales continues et á, 3 deux processus mesurables sur T×I muni de la tribu produit /3(T) ? F. Alors, on a pour tout t ? T :

f t ( f t ) 0hásih/3sid | hM, Nis = 0 á2 sdhM, Nis ment.

2 ( f t 1 ) 0 /3^2sdhM, Nis

1 2

, presque sûre-

L'inégalité fondamentale suivante pour les martingales (locales) sera très utile lorsqu'on s'intéressera aux martingales locales définies par des intégrales stochastiques pour lesquelles on arrive souvent en pratique à calculer la variation quadratique.

Théorème 1.3.14. [150](Inégalité de Burkholder - Davis - Gundy) Pour tout p > 0, il existe des constantes positives c_p et C_p telles que pour toute martingale locale continue M = (Mt)tET et tout temps d'arrêt r à valeurs dans T,on a

[ ]

p

c_pE hMi ô 2 =E[sup

|_{z}

0<t<ô

[ ]

p

| Mt |]p = C_pE hMi ô 2

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Proposition 1.3.14.1. (Martingale de carré intégrable) Soit M = (Mt)t?T une martingale locale continue. Alors M est une martingale de carré intégrable si et seulement si E[hMit] < +8 pour tout t ? T. Dans ce cas,

M2 - hMi est une martingale continue et si M0 = 0, on a :

E[hMi_T].

E[M2 _t ] = E[hMit], ?t ? T. De plus, M est bornée dans £² si et seulement si E[hMit] < +8 et dans ce cas : E[M2 _T] =

L'espace H2 c muni du produit scalaire (M, N)H2 c = E[hMi_T] est un espace de Hilbert.

Le théorème suivant est connu sous le nom de théorème de décomposition de Doob-Meyer des surmartingales.

Théorème 1.3.15. (Décomposition de Doob - Meyer) Soit X une surmar-tingale càd - làg. Alors X admet une décomposition unique de la forme

X = X0 + M - A (1.2)

où M est une martingale locale càd-làg nulle en 0 et A est un processus prévisible croissant et nul en 0. Si X est positif, alors A est intégrable,i.e. E[A_T] < +8, où AT = limt~T At p.s.

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Définition 1.3.21. Une semimartingale est un processus càd - làg adapté X admettant une décomposition de la forme

X = X0 + M - A (1.3)

où M est une martingale locale càd - làg nulle en 0 et A est un processus prévisible croissant et nul en 0. Si X est positif, alors A est intégrable,i.e.

Théorème 1.3.16. (Théorème de Girsanov)[Pham [150],p.22] Soit Q « p et Z son processus de densité martingale. On suppose que Z est continu. Soit M une martingale locale continue. Alors le processus

Z 1

MQ = M - Z d(M, Z(

est une Q-martingalelocalecontinue De plus, si N est une martingale locale continue, on a

(M^Q, Z^Q(= (M, Z(

Si on a de plus Q ti P, i.e.,Z est strictement positif presque sûrement, alors il existe une unique martingale locale continue L nulle en t = 0, telle que :

1

Zt = exp(Lt - ₂(L, L)t) =: Et(L), t E 7r, p.s. et L est donné par

t1

Lt = f Z3 dZ₃, t E r, p.s.

La Q - martingale locale MQ s'écrit alors aussi

MQ = M - (M,L(.

Dans le cas d'un mouvement brownien, on a le résultat important suivant.

Théorème 1.3.17. (Cameron - Martin)[150] Soit W un mouvement brownien. Soit Q ti P de processus de densité martingale

dQ

dP |Ft = Et(L),

où L est une martingale locale continue. Alors le processus

WQ = W - (W,L(.

est un Q - mouvement brownien.

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Il est important d'avoir des conditions assurant que (L) soit une martingale.

Proposition 1.3.17.1. (Condition de Novikov)[150] Soit L une martingale locale continue avec L0 = 0 telle que

E[exp(¹ ₂hW,Lh T )] < +8.

Alors L est une martingale uniformément intégrable avec E[exp(L T 2

)] < +8

et (L). est une martingale uniformément intégrable.

Définition 1.3.22. (Le pont brownien) Soit {X(t) : t 0} un mouvement brownien standard. Le processus {Y (t) : 0 6 t 6 1brownien.}, où Y (t) := X(t)tX(t) est appelé pont brownien.

Presque toute trajectoire de ce pont est une courbe continue sur [0, 1] passant par les points (0, 0) et (1, 0)

Propriété 1.3.1. Les fonctions d'espérance et des variances - covariances du pont brownien sont données par:

(a) E[Y (t)] = 0 0 6 t 6 1 ;

(b) cov(Y (s),Y (t)) = s(1 - t)(0 6 s 6 t 6 1)

Proposition 1.3.17.2. Soient {X(t) : t 0} un mouvement brownien

standard et 0 < t1 < ... < t_n < 1 une suite de nombres. Alors la loi de (X(t1),...., X(t_n)), conditionnelle à {X(1) = 0} suit la loi normale N(0, F^')

En particulier, pour 0 < s < 1, la loi de X(s) conditionnelle à {X(1) = 0} \/est la loi normale N(0, s(1 - s).

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