1.3.6 Quelques modification du mouvement brownien
Les éléments développés ici
peuvent être trouvés dans[94]. Les modification introduites sont
toutes des processus de Markov dont les trajectoires sont presque
sûrement continues.
Définition 1.3.14. (Mouvement
brownien réfléchi) Soit {X(t) : t 0} un
mouvement brownien. Le processus {Y (t) : t 0} où
{Y (t) :=| X(t) |, t 0} est appelé
mouvement brownien réfléchi( à l'origine).
q2t
Proposition 1.3.8.1. On a : E[Y(t)] = ð
et VarY (t) = (1 - 2 ðt).
Définition 1.3.15. (Le mouvement
brownien absorbé) Dans la définition du mouvement brownien
donnée c -dessus, on remplace la condition (1) X(0) par (1'
X(0) = x > 0. On obtient le mouvement brownien commerce en x.
Désignons par T le premier instant où ce mouvement brownien
atteint la valeur 0 et introduisons le processus {Z(t) : t 0}
défini par
Z(t) := {X(t), sit 6 T; 0, sit> T. (1.1)
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Ce processus est appelé mouvement brownien
absorbé ( à l'origine).
Définition 1.3.16. (Le mouvement
brownien à dérive) Soient {X(t) : t 0} un
mouvement brownien et , un nombre réel. Le processus {Y (t) : t
0}, où Y (t) := X(t) + ,it, est appelé mouvement
brownien à dérive; la constante ,t est le paramètre de
dérivé.
Si ,u = 0, le processus n'est plus symétrique
et le principe de réflexion ne s'applique plus pour le calcul de la loi
du maximum.
Proposition 1.3.8.2. Le mouvement
brownien avec dérive a les propriétés suivantes :
(a) Y (t) = 0;
(b) le processus est à accroissement
indépendants et stationnaire;
(c) pour toutt > 0, la variable aléatoire Y (t)
suit la loi normale de paramètre (sit, /t).
Définition 1.3.17. (Le mouvement
brownien géométrique) Soit {X(t) : t 0} un
mouvement brownien. Le processus {Y (t) : t 0}, où Y
(t) := exp(X(t)), est appelé mouvement brownien
géométrique.
Lorsque le mouvement brownien sous - adjacent est à
dériver, à même s'il est de la forme X(t) =
t9î(t) + ,it où (t) : t 0} est le mouvement brownien
standard.
Proposition 1.3.8.3. Soient
{î(t) : t 0} le mouvement brownien standard et
{Y (t) : t 0} le processus géométrique
défini par:
Y (t) =
e(uî(t)+ut). Alors
E[Y (t)] = et(u+ u2 2
)
V arY (t) = e2t(u+u2
2 )(etu2 - 1)
Définition 1.3.18. (Processus
d'Ornstein - Uhlenbeck) Soient {X(t) : t 0} un mouvement
brownien et a un nombre strictement positif. Le processus
{Y (t) : t 0}, ou Y (t) := e- át
2 (eát), est appelé processus
d'Ornstein -
Uhlrnbeck.
Proposition 1.3.8.4. Pour tout t 0, on a E[Y
(t)] = 0 et pour 0 < s < t < +00, on a :
á(t-s)
Cov(Y (s), Y (t)) = e- 2
.
Théorème 1.3.9. Le mouvement
brownien standard {X(t) : t 0} est une
martingale par rapport à la famille {F; t
0} où {F; t 0} est la
tribu
engendrée par les variables Xs (0 s t).
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