1.3.4 Martingales à état
indépendant
Nous considérons la classe des processus à
état dépendant S de la forme Mt = f(Xt)
où Xt : t > 0) est une chaine de Markov.
Proposition 1.3.6.1. Supposons que f est une
fonction telle que
EX f(Xt) < oo pour t > 0 et x E S.
(i) Si f = P f, alors (f(Xt : t > 0)) est une martingale
adapté à (Xt : t > 0),
(ii)
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Si f = Pf, alors (f(Xt :
t = 0)) est une surmartingale adapté à (Xt
: t = 0),
(iii) Si f = Pf, alors (f(Xt
: t = 0)) est une sous-martingale adapté à
(Xt : t = 0),
Théorème 1.3.7. Soit
(Mt : t = 0) une sous-martingale adapté
à (Zt : t = 0). Alors pour X >
0,
|
P[max s.. {z }
0<k<t
|
Mk > X] = EM+
X .
t
|
La propriété de sous-martingale est
préservée sous applications convexes.
Proposition 1.3.7.1. Soit ç :
R ? R convexe. Si Mt : t =
0) est une martingale adaptée à (Zn
: n = 0) pour laquelle
E|ç(Mt)| < 8 pour n = 0,
alors (ç(Mn) : n = 0) est
une sous-martingale adaptée à (Zn :
n = 0). Si ç est à la fois convexe et croissante et
Mt : t = 0) est une sous-martingale pour laquelle
|ç(Mt)|8 pour n = 0, alors
(Mt : t = 0) est une sous-martingale adaptée
à (Mt : t = 0).
Théorème 1.3.8.
(Théorème de convergence des martingales)
(i) Soit Mt : t = 0) est une
sous-martingale adaptée à (Zt : t =
0). Si E|Mt| < 8, alors il existe une
variable aléatoire à valeur finie M8 telle
que Mt ? M8 presque surement quand t tend vers
8.
(ii) Soit Mt : t = 0) est une
sous-martingale non négative adaptée à (Zt :
t = 0), alors il existe une variable aléatoire à
valeur finie M8 telle que Mt ? M8
presque surement quand t tend vers 8.
Quand (Mt : t = 0) est une
martingale,(ii) est appelée le théorème de
convergence de martinga
1.3.5 Mouvement brownien
Le botaniste Robert Brown en 1827 pour décrire le
mouvement irrégulier de particules de pollen dans un fluide. Le cadre
d'application du mouvement brownien a largement dépassé
l'étude des particules microscopiques pour être utilise en finance
dans la modélisation des prix d'actions, historiquement depuis Bachelier
en 1900.
Définition 1.3.11. [150](Mouvement
brownien standard) Un mouvement brow-
nien standard vectoriel (d-dimensionnel) sur T = [0,
T] ou R+ est un proces-
( ~
sus continu à valeurs dans
Rd, (Wt)tET = W t 1 ,
..., W t d tET tel que
(i)
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W0 = 0
(ii) Pour tous 0 =< t dans T, l'accroissement
Wt - Ws est indépendant de u(Wu, u =
s) et suit une gaussienne centrée de matrice de variance -
covariance (t - s)I - d où Id est la matrice
d'identité d × d.
Définition 1.3.12. (Mouvement
brownien standard,[Pham,p.6]) Un mouvement brownien standard vectoriel
(d-dimensionnel) sur T = [0, T] ou R+ par
rapport à une filtration F = (ft)tET
est un processus continu F-adapté à va-
( )
leurs dans Rd, (Wt)tET
= W t 1 , ..., W t d tET tel que
(i) W0 = 0
(ii) Pour tous 0 =< t dans T, à
l'accroissement Wt -Ws est indépendant de
u(Wu, u = s) et suit une gaussienne centrée de
matrice de variance - covariance (t - s)I - d où Id
est la matrice d'identité d × d.
Définition 1.3.13. [94](Mouvement
brownien fractionnaire) Soit Xt un processus. On dit que la loi de Xt est
autosimilaire de facteur H si ?a > 0>, la loi de Xat
est la même que la loi de aHXt. On suppose que Xt est un
processus gaussien à accroissement stationnaires (Xt - Xs
a même loi que Xt-s).Si H ? ]0, 1[, on dit que Xt
est un mouvement brownien fractionnaire d'exposant H(appelé
paramètre de Hurst). Dans le cas où H = 1/2, Xt est appelé
le mouvement brownien fractionnaire standard.
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