Applications des intégrales stochastiques en macroéconométrie

1.3.3 Temps d'arrêt

Une variable aléatoire T : (S2, 3 , P) -+ N^* un temps pour la filtration 3_n si pour tout entier n, l'événement (T = n) E 3_n.

Proposition 1.3.4.3. Si S et T sont deux temps d'arrêt alors sup(S, T) = S ^V T et inf(S, T) = S ^A T sont des temps d'arrêt. Si (S_n) est une suite de temps d'arrêt alors sup(S_n) est un temps d'arrêt.

Proposition 1.3.4.4. [94] Si (X_n) est une sous-martingale(respectivement martingale, surmartingale), T un temps d'arrêt alors, la suite (X_TA_n) est une sou - martingale(respectivement martingales, surmartingale).

On dit que le processus X = (X(t) : t > 0) est adapté au processus Z = (y(t) : t > 0) si pour tout t > 0 il est existe une fonction gt = (.) telle que X(t) = gt(Z(t) : 0 < S < t). On dit que M_n : n > 0) est une martingale adaptée à (Z(t) : t > 0) si

(i) E | M_n |< oo pour n > 0,

(ii) (M_n : n > 0) est adaptée à Z_n : n > 0),

(iii) E[Mn+1 | Z0, ..., Z_n] = M_n presque surement pour n > 0.

On dit que M_n : n > 0) est une sous-martingale (surmartingale) adaptée à (Z(t) : t > 0) si

(i) E | M_n |< oo pour n > 0,

(ii) (M_n : n > 0) est adaptée à Z_n : n > 0),

(iii) E[Mn+1 | Z0, ..., Z_n] > M_n (E[Mn+1 | Z0, ..., Z_n] < M_n) presque surement pour n > 0.

Proposition 1.3.4.5. Soit M = M_n : n > 0) une martingale adaptée à Z_n : n > 0) et O_n : n > 0) est une suite de variables aléatoires bornées qui est adaptée à Z_n : n > 0). Alors M_n - I Oj-1 A Mj est une martingale adaptée

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à Z_n : n > 0) où OMj = Mj - Mj-1 pour j > 1 et E[(Mj - M0)²] = PE[0²_j-1(OMj)²].

Définition 1.3.9. Un processus stochastique X(t) : a < t < b est appelé continu ï6¹₂ droite si toutes les trajectoires d'échantillon sont des fonctions continues à droite sur [a, b].

Définition 1.3.10. Une martingale M = (Mt, IFt), t E R⁺ est dite carrée - intégrable

si

sup E(M²_t ) < oo. |_{z}

t

Nous donnons le théorème de d'inégalité de Doob d'une sous - martingale donne les valeurs maximales attentes par une sous-martingale.

Théorème 1.3.5. (Inégalité de Doob) Soit X(t), a < t < b une sous - mar-

tingale continue à droite. Alors VA > 0, P[ sup |{z} a<t<b

X(t) > A] < ^1ë[X(b)^+] où

X(b)⁺ est la partie positive de X(b),c'est- à-dire,X(b)⁺ = max(X(b), 0). En particulier, si X(t) est une martingale continue à droite, alors pour tout

P[ sup |{z} a<t<b

X(t) > A] = ^1ë[X(b)^+]

Le théorème d'arrêt de Doob montre que l'inégalité des sous - martingales est conservée par passage à un temps d'arrêt borné.

Théorème 1.3.6. [94](Théorème d'arrêt de Doob) Soi X_n une surmartingale (resp. martingale,sous - martingale), S et T deux temps d'arrêt bornés (S < T < k). Les variables XS et XT sont dans L¹ et on a

E(XT FS) = XS, (respectivement =, <)