Chapitre 3
Applications des intégrales
stochastiques à l'estimation
statistique
Ce présent chapitre présente les applications
des intégrales stochastiques à la théorie de
l'inférence statistique. Le domaine de l'estimation statistique est
vaste ([37], [170], [172],[63], [122],
[118],[184],[120],[171],[117],[116],[91]).
Ces cinq dernières décennies, les recherches ne
cessent de croire abondamment dans l'estimation de paramètres des
équations différentielles stochastiques et la théorie de
filtre stochastique Arato,Kolmogorov et Sinai (1962) et Liptser et Shiryayer
(1978)( [124], [22],[91] [86],[110], [116],[21]).
Dans cette recherche l'estimation de paramètres des
équations différentielles stochastiques et la théorie de
filtre stochastique sont considérées. Car ces deux techniques
sont des outils puissants dans le domaine de la modélisation
macroéconométrique ([131] [130],[128],[127][11]).
3.1 Estimation de paramètres des équations
différentielles stochastiques
L'estimation de paramètres des équations
différentielles stochastiques consti-
tue l'un des problèmes majeurs de la théorie de
l'inférence statistique moderne([6],[152], [126]).
47
3.1.1 Estimation des paramètres pour les
équations différentielles stochastiques linéaires
Le Breton(1998) a étudié l'estimation de
paramètres et l'estimation de filtre dans un modèle
linéaire simple conduit par les mouvements browniens de diffusion. Aussi
et Le Breton (2002) ont étudié les problèmes d'estimation
des paramètres pour le processus de type Ornstein - Uhlenbeck
fractionnel ([154] ).
L'un des outils de base dans l'étude de la
théorie de l'asymptotique de l'inférence statistique est le
concept de la normalité. Plusieurs propriétés importances
des estimateurs exigées dans tels processus apparaissent comme une
conséquence de la normalité asymptotique locale de la famille de
mesures de probabilité générée par les
processus.
On considère l'équation différentielle
stochastique linéaire
dXt = ä(è, t, Xt)dt
+ ødWtH, (3.1)
X0 = x0, 0 < t < T,
où X0 E R, ö E
(0,1), ä(è, t, Xt) :
Rd x R -- R est une fonction
déterministe avec le paramètre, è E O E
Rd est un paramètre inconnu et WH =
{WtH, 0 < t < T} est un processus
brownien fractionnel avec l'indice de Hurt H E
(12, 1). L'équation 3.1.1
modélise un système dynamique avec un petit bruit qui est un
processus Brownien fractionnel.
On suppose que le processus {Xt, 0 < t < T}
est observé sur un intervalle [0,T]. Le problème
d'intérêt est l'estimation de paramètre è
basée sur les observations ou les données {Xt, 0
< t < T}.
Nous définissons le concept de la normalité
asymptotique locale pour une famille de mesures de probabilité.
Nous discutons généralement sur les classes de
processus stochastiques satisfaisant l'équation différentielle
stochastique linéaire conduit par un mouvement brownien fractionnaire et
l'étude des estimateurs de maximum de vraisemblance et de Bayes de ces
processus.
On considère l'équation différentielle
stochastique suivante :
dXt = ä(è,t, Xt)dt
+ ødWtH, X0= x0, 0
< t < T,
où X0 E R, ö E (0,
1), ä(è, t, Xt) : Rd
x R -- R est une fonction déterministe avec le
paramètre, è E O E Rd est
un paramètre inconnu et
WH = {WtH, 0 <
t < T} est un mouvement brownien fractionnaire avec l'indice de
Hurst H E (12,1). L'équation 4.1
modélise un système dynamique
avec un petit bruit qui est un processus Brownien
fractionnaire. On suppose que le processus {Xt, 0 < t <
T} est observé sur un intervalle [0,T]. Le problème est
l'estimation du paramètre è basée sur les
observations ou les données {Xt, 0 < t <
T}.
On définit le concept de la normalité
asymptotique locale pour une famille de mesures de probabilité. On
analyse les classes de processus stochastiques satisfaisant l'équation
différentielle stochastique linéaire conduit par un mouvement
brownien fractionnaire et l'étudions les estimateurs de maximum de
vraisemblance et de Bayes de ces processus.
On considère l'équation différentielle
stochastique un processus brownien fractionnaire suivante :
dXt = [á(t, X(t)) + èâ(t, X(t))]dt +
ó(t)dWH, X(0) = 0, t > 0,
où è E O C 1R, W
= {WtH, t > 0} est un processus
brownien fractionnaire avec un paramètre de Hurst et ó(t)
est une fonction positive non nulle dans[0, +oo). En
d'autres termes,X = {Xt, t > 0} est un processus
stochastique satisfaisant l'équation intégrale stochastique
Z t Z t
X(t) = 0 [á(s, X(s)) + èâ(s,
X(s))]ds + 0 ó(s)dwH, t >
0
avec ?(è, t) = á(t, X(t)) + èâ(t,
X(t)).
On suppose que les trajectoires de l'échantillon du
processus
[?(è,t)
ó(t) ,t > 0] sont tels que le
processus
QH,è(t) =dWtH ft kH(è, s)
ó((,) , t > 0.
On suppose que les trajectoires de l'échantillon du
processus {QH,è(t), 0 < t <
T} appartiennent presque sûrement à
L2([0, 1], dWH(t)). On
définit
Z(t) =
lo ó(è) , t > 0.
t kH(è, s)
48
Alors, le processus Z(t) = {Z(t), 0 <
t < T} est une Fø - semimartingale
qui admet le processus de décomposition suivante :
t
Z(t) = Jo
QH,è(s)dWH(t) + MH(t)
49
où MH est une martingale
fondamentale et le processus X admet la représentation
suivante:
Z t
X(t) = 0 Kó H(t, s)dZs
où la fonction Kó H est définie par
:
Z t
Kf H(t, s) = -2H d s f(r)rH-
2 1 (r - s)H- 2 1
dr, 0 s t. ds
Comme en déterministe, pour estimer les paramètres
des équations différentielles stochastiques, il important de
donner les conditions de l'existence et de l'unicité. de solutions. Pour
l'équation ??,on donne le théorème
suivante.
Théorème 3.1.1.
Soit Pè T la mesure induite par le
processus X(t) = {X(t), 0 t T}
où est le vrai paramètre. Kleptsyna et al.(2000)
ont dérivé le théorème de Girsanov - type qui
permet de trouver la dérivée de Radon - Nikodym de
PèT relativement à P 0
Tde la manière suivante [154] :
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P è T P 0 T
|
Z T Z T
= exp{ 0 QH,è(s)dZs - 1 0 Q2
H,è(s)dW s H }.
2
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Cette quantité est indispensable pour l'utilisation de
la méthode du maximum de vraisemblance dans l'estimation des
paramètres de modèles statistiques.
Cette quantité est indispensable à l'utilisation
de méthode du maximum de vraisemblance dans l'estimation des
paramètres de modèles statistiques.
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