1.3 Espaces metriques, espaces topologiques
1.3.1 Norme, distance, topologie
Definition 1.3.1 Soit X un espace vectoriel reel, une norme sur X
est une application x' Ixk de X dans R#177;, telle que :
(N1) Ixk = 0 <=> x = O.
(N2) IlAx11 = IAj Ixk , vx 2 X, VA 2 R.
(N3) Ilx + yll < 1xk + Ilyll ,Vx,y 2 X (inegalite
triangulaire ).
Definition 1.3.2 Soit X un espace vectoriel reel, un espace norme
est un couple (X,11.11) , oh I.k est une norme sur X.
Definition 1.3.3 Soit X un ensemble non vide. Une distance sur X
est une application
(x, y) i-- d (x, y)
de X x X dans R#177; telle que :
(D1) d (x,y) = 0 <=> x = y.
(D2) d (x, y) = d (y,x) ,Vx,y 2 X.
(D3) d (x, y) < d (x, z) +d (y, z) , Vx, y, z 2 X (inegalite
triangulaire).
Definition 1.3.4 Un espace metrique est un couple (X, d), ofi d
est une distance sur X.
Definition 1.3.5 Soient E un ensemble quelconque et P (E) la
famille de toutes les parties de E . On dit qu'une sous famille T de P (E) est
une topologie sur E si elle satisfait les trois conditions suivantes :
(A1) E 2 T,0 2 T.
(A2) r est stable par réunion (fini ou non)
c'est-à-dire :
|
U8 (~j)j EI C r :
i El
|
~i 2 r. (1.5)
|
|
(A3) r est stable par intersection finie c'est-à-dire
:
fl
8 (~j)i EJ C r :
j EJ
|
~i 2 r. (1.6)
|
Le couple (E, r) s'appelle espace topologique. les
éléments de r sont dits ensembles ouverts de(E, r).
1.3.2 Continuité, complétude,
compacité
Définition 1.3.6 Soient (X, d) , (Y, D) deux espaces
métriques. Une application
f : X ~! Y
est continue au point a 2 X, si pour tout € > 0, il
existe 8 > 0 tel que
D (f (x),f (y)) < (1.7)
dés que
d (x,y) < 8 (1.8)
On dit aussi que a est un point de continuité de f.
f est continue si f est continue en tout point de X.
L'ensemble des fonctions continues de (X, d) vers (Y, D) est
noté C ((X, d) , (Y, D)) ofi tout simplement C (X, Y ).
Proposition 1.3.1 Soient (X, d) , (Y, D) deux espaces
métriques et
f : (X,d) ~! (Y, D)
une application alors f est continue en point a 2 X si et
seulement si pour toute suite (Un) converge vers a donc la suite f
(Un) converge vers f (a).
Théorème 1.3.1 Soient (X, d) , (Y, D) deux espaces
métriques et f : (X, d) -p (Y, D) une application, alors les assertions
suivantes sont equivalentes :
i) f est continue sur X
ii) L'image réciproque par f de tout ouvert de Y est
ouverte dans X.
iii) L'image réciproque par f de tout fermé de Y
est fermée dans X.
Proposition 1.3.2 Soient (X,11.11x) , (Y,
11.11y ) deux espaces normés, et f application
linéaire
f : (X,11.11x) -! (Y , 11.11y )
Les propriétés suivantes sont équivalentes
:
a) f est continue.
b) f est continue en 0.
c) il existe c > 0, tel que
11f (x)11y < c11x11x ,Vx E X,
si de plus est de dimension finie, alors toute application
linéaire
f : (X,1111x) -> ( X,1111y)
est continue.
Definition 1.3.7 Soit (X, d) un espace métrique, une suite
(xn) E X est de Cauchy si et seulement si pour tout E > 0, il
existe no > 0, tel que d (xn, xm) < E
dés que n,m > no.
Definition 1.3.8 Soit (X, d) est un espace métrique.
* Une partie A de X est bornée s'il existe a E X et r
> 0 tels que
d (a, x) < r, Vx E A.
* Une suite (xn) C X est bornée s'il existe a
E X et r > 0 tels que d (a, xn) < r, Vn E N.
Definition 1.3.9 Un espace (X, d) est complet si et seulement si
toute suite de Cauchy (xn) E X est convergente.
Soient (X, d) un espace métrique et A C X.
Proposition 1.3.3 On a
a) Si (A, d) un espace complet, alors A est un fermé de X
.
b) Si (X, d) un espace complet et A est un fermé de X
,alors (A, d) est complet.
Corollaire 1.3.1 Dans un espace métrique A, A complet
<=:- A est fermé.
Definition 1.3.10 Soient (X, d) , (Y, D) deux espaces
métriques et
f : X ~! Y
est bornée si son image f (x) est bornée.
Cb (X, Y ) = {f : (X, d) - (Y, D) , f est continue et
bornée}
.
Proposition 1.3.4 Si (Y, D) un espace complet, alors Cb (X, Y )
est un espace complet.
Definition 1.3.11 Un espace (X, d) est compact si et seulement si
pour tout recouvrement ouvert (Ui)i 2I de X,
(i.e.Uiouvert et X = Ui 2iUi ), on peut extraire un
sous recouvrement finie c'est-à-dire il existe une famille J c I tel
que
UX = Uj.
j EJ
Corollaire 1.3.2 Un espace (X, d) est compact si et seulement si
pour tout famille fermé (F j)j 2I de X, telle que
il existe une famille finie J c I , telle que
flj EJF3 = ø.
Definition 1.3.12 Un espace métrique (X, d) est compact si
et seulement si toute suite (xn) c X admet une sous suite
convergente.
Proposition 1.3.5 Soit (X, d) un espace compact, et A c X, alors
A est compact si et seulement si A fermé dans X.
Proposition 1.3.6 Soient (X, d) , (Y, D) deux espaces
métrique, f est une application continue de X dans Y . Si X est compact,
alors f (X) est un compact.
Proposition 1.3.7 Un espace compact est bornée et
complet.
Definition 1.3.13 Soit (X, d) un espace métrique, une
partie A de X est relativement compact si et seulement si toute suite de A
admet une valeur d'adhérence dans X.
Definition 1.3.14 (Espace de Banach) Un espace (X, k.k) est de
Banach si et seulement si X est complet pour la distance associe à
k.k.
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