Etude d'une équation hyperbolique

1.2 Quelques notions autour des dériveés partielles

1.2.1 Dérivées directionnelles :

Soit

f : 12--> IR

une application, (xo, yo) un point de Q et u = (ui, u2) un vecteur de 118².

On appelle dérivée directionnelle de f en (x0, y0) dans la direction de u la dérivée en s = 0, si elle existe, de la fonction d'une variable

fu:s^-->f(xo,yo) + su).

On la note alors

auf(xo, yo).

1.2.2 Les applications de classe Ck

Soit Q un ouvert non vide de Tⁿ, pour tout

k E N = N U I+oo},

on définit l'espace C^k(Q) comme suit :

C^k(Q) = If : Q ----> IR ou C : D^af E C(Q),Va E Nⁿ; lal < k} .

Autrement dit : une fonction

f : 12--> IR,

est dite de classe C^k sur Q si toute ses derivées partielles jusqu'a l'ordre k existent et sont continues.

C^k(Q) = f : Q ~! R

ou C : f 2 C^k(Q), et toutes les derivées partielles l'ordre k se prolonge continument a Q.

^C°°(Q) = krOCk (Q)

et

^C°°(Q) = krOCk (Q)

Théorème 1.2.1 Si f est de classe C²dans Q, alors on a :

a2xyf =@2 _yxf_; dans Q.

on note aussi les dirévées secondes	82		82
	ax^e '		Oxoy' :::

Théorème 1.2.2 (de trace) Soit Q un ouvert borné régulier de classe C^l,ou bien

Q = Rⁿ +:

On définit l'application trace 'Yo

H¹(Q) n C(Q) L²(0Q) n C(0Q)

70(v) = van.

Cette application _'Yo se prolonge par continuité a une application linéaire continue de H¹(Q) dans L²(0Q), not& encore 70.

En particulier, il existe une constante c > 0 telle que, pour tout fonction v 2 H¹(Q),on a

IlvIlL2(an) ~ kvkH1(~)

Théorème 1.2.3 (Krein Rutman) On suppose que l'ouvert Q est connexe. Alors la premiére valeur propre Aiest (i.e le sous espace propre correspondent est de demension1) et le premier vecteur propre peut etre choisi positife presque partout dans Q:

1.2.3 Conditions de Derechlet et de Numann

Les conditions de Dirichlet imposent à la solution u d'être continue sur l'adhérence de ~, c'est-à-dire sur Q et sa frontière, et d'être alors égale à une fonction donnée sur la frontière de ~.

Les conditions de Neumann imposent à la solution u d'être continue sur l'adhérence de ~, c'està-dire sur Q et sa frontière, et d'admettre en tout point de la frontière de Q, une dérivée Ou/ON suivant le vecteur normal N orienté vers l'extérieur de la frontière de Q (supposée suf fisamment régulière) égale à une fonction donnée.