Etude d'une équation hyperbolique

1.1.2 Equation aux dirévées partielles (EDP)

Définition 1.1.2 Soit u une fonction définie sur Rⁿ a valeur dans R

u : Rⁿ -p R

Une équation aux dérivées partielles (EDP) pour la fonction u est une relation entre u les variables x1, x2,.....x et un nombre fini de dérivées partielles de u.

F(xi, x2,......x_v,, u, D1u, D2u,.....D_nu, D1D2u, ...D1D_nu, .., D^au, ...), (1.1)

ou

a = (ai, a2,.......a_n) 2 Nⁿ.

Definition 1.1.3 On dit que u est une solution de l' EDP dans une région C Rⁿ, si aprés

substitution de u et de ses dérivées partielles, F s'annule pour tout

(x1,x2,.....x_n) 2 ~.

Definition 1.1.4 Soit = ]a, b[ x ]c, d[ dans ², et

f : ~ ~ R² ! R

une application. Soit (x0, yo) E , et

fi : ]a;b[ -- R

l'application définie par

fi (x) = f (x,yo)

on dit que f admet une dérivée partielle par rapport a la première variable en (x0, yo) lorsque fi est dérivable en x0. On note 8if (x0, yo) ou encore 8 f (xo, yo) le nombre fi (x0). De la même maniêre, si elle existe, on note 82f (x0, yo) la dérivée partielle de f par rapport a la deuxiême variable en (xO,yO).

1.1.3 Classification des EDPs linéaires du second ordre

Ce paragraphe est destiné a distinguer trois types d'équations, qui se révélent différentes tant du points de vue mathématique(propriétés des solution, méthodes de démonstration) que physique. Etudions le cas des EDP dépendant de deux variables réelles.

Définition 1.1.5 L'équation aux dériivées partielles (1.1) donnée :

8²u

a8x2 + b 82u (1.2)

8x8y + c82u

8y2 + a8u

8x + / 8u

8y + 'yu = F (x, y)

est dite de type :

-Hyperbolique lorsque

A = b² - 4ac > 0,

-Parabolique lorsque

A = b² - 4ac = 0,

-Elliptique lorsque

A = b² - 4ac < 0,

oIl A = b² - 4ac est la discriminant de l'équation (1.2).

1.1.4 Probléme bien posé:

Le nombre de solutions d'une EDP peut être trés grand. Rappelons le cas des équations différentilles linéaires homogenes a coefficients constants. Pour l'équation

a_nu⁽ⁿ⁾(x) + a_n_iu^(n_1)(x) + ... + aiu^'(x) + aou(x) = 0, (1.3)

on rappellera plus loin que l'ensemble des solutions est un espace vectoriel on dimension m : la
solution générale dépend de m (m est l'ordre de l'équation). On obtient une solution unique lorsque

l'on fixe n conditions supplémentaires du type

u(0) = _yo,u/(₀) = _yi, ..., u(n_1)(0) = yn_i, (1.4)

Considérons une équation aux dérivées partielles sur un domaine Q avec eventuellement des conditions auxiliaires sur la solution, on dit que le probléme est bien posé si on a :

- Existence d'une solution du probléme.

- Unicité de cette solution.

- Stabilité par rapport aux données du probléme (Conditions initiales et aux bords). Si la solution se change beaucoup quand les données se changent peu on dit que le probléme est sensible aux données.