Etude d'une équation hyperbolique

1.4 Espaces fonctionnelle

1.4.1 Les espaces LP

On donne ici quelques definitions et proprietes elementaires.

Definition 1.4.1 Soit Q un ouvert de TV et 1 < P < oo, on definit L^P (Q) un espace de Lebesgue par :

L^P (Q) =

{

f : Q --p IV, f est mesurable et I n

If (x)I^P dx < oo

}

· (1.9)

pour P =118 et 0 < P < oo , on definit Mf M_P par :

Mf Mp = (I If (x)I^P dx ~

1 P

·

(1.10)

Si P = oo, nous avons :

·

If (x)I < c p.p sur Q

L°° (Q) = {f : Q --> IR, f est mesurable,il existe une constante c telle que

On note

MfM°° = inf {c, If (x)I < c}

Theoreme 1.4.1 (Inegalite de Holder).

Soint f E L^P (Q) et g E L^q (Q) avec 1 < P < oo ,alors f g E L¹ (Q) et

I If gI < Mf M_i, MgM_q .

Theoreme 1.4.2 (Inegalite de Young) Soient f E L^P (R) et g E L^q (118) avec 1 < p < oo ,1 < q < oo et 1 r

=

1 p

+

1 q

-- 1> 0.Alors

f * g E L^r (118) et Mf * gM,^r(R) < Mf MLP (R) MgMyi(R) -

Lemme 1.4.1 (de Gronwall)

Soient :

0 une fonction E L°° (0, T ), 0 (t) > 0 ,p.p.t E [0, T ]. ,u une fonction E L^l (0,T ) , ,u(t) > 0,p.p. t E [0, T ] .

On suppose

(t) < 0 ,u (s) q (s) ds + C, p.p.t 2 [0, T ]. (C = constante) .

Alors

(t) < C exp (I,u (s) ds) , p.p. t 2 [0, T ]. On désigne par (f, g) le produit scalaire dans L² (a), i.e.

t

(f, g) = I

f (x) g (x)dx,

et également le produit de dualité entre f 2 D^'(a) (espace des distributions sur a) et g 2 D(a) (espace des fonctions C sur a et a support compact dans a).

Theoreme 1.4.3 L^P (a) est un espace de Banach muni de la norme 11.11p, pour tout 1 < P < 1 .

1.4.2 Espaces de Sobolev

On introduit l'espace H ^m (a) comme etant l'espace des fonctions v 2 L² (a) dont toutes les deriyees partielles d'ordre inferieure ou egale m -prises au sens des distributions sont dans L² (a) Ces espace jouent dans analyse des equations aux deriyees partielles un role fondamental.

Les espaces de Sobolev d'ordre m : [ H ^m (a)]

Definition 1.4.2 Soit a est un ouvert non vide de Rⁿ, et m 2 N. On appelle espace de sobolev d'ordre m sur a l'espace

Hm (a) =

{

u 2 L^2(a) : D^au 2 L^2(a) # calcules au sens des distributions

, Va 2 N^n; <m

9 >= ;>

Remarque 1.4.1 Pour m = 1,

H1 (a) =	8 <>>> >>>:	ou u 2 L^2(a) : 2 L^2(a) uxi # calcules au sens des distributions			,1 <i <n	9 >>>= ;>> >
mull,n(g = (E f 1D^au (x)1^2 dx) jj~m ~			1 2	0 1 @ X = kD^~uk^2 A 2 jj~m			1 2	. (1.11)

et la norme associée a ce produit scalaire

Définition 1.4.3 On introduit ensuite :

H1 ₀(l) = adh^~erence de D(l) dans H ¹ (~)

= sous - espace deH ¹ (~) des fonction "nulles" sur [1 = ô: (1.12)

Théorème 1.4.4 (Formule de Green) pour tout u 2 H ² (~) , v 2 H ¹ (~) on a

f-

ZLuv dx = ~

ZVu Vv dx - ~

@u v dO (1.13) @~

@u

ot @~

est la dérivée normale de u à 11' dirigée vers l'extérieur .