Etude d'une équation hyperbolique

3.2 Applications

Nous appliquons maintenant le résultat abstrait du Théoréme à l'équation des ondes et nous prouvons que cette approche variationnelle a bien permis de résoudre l'équation aux dérivées partielles d'origine.

Théorème 3.2.1 Soit Q un ouvert borné régulier de R^N, et un temps final T > 0.

On considére une donnée initiale (uo, ui) E Hj(Q)xL²(Q) et un terme source f E L²(]0,T[; L²(Q)). alors l'équation des ondes

ou

8 <>>> >>>:

2 Ot2u(x, t) -- Au(x, t) = f(x, t), p.p. dans Q x ]0, T[ u(x, t) = 0 p.p. sur (Q x ]0, T[ u(x,0) = uo(x), :u(x,0) = ui(x), p.p. dans Q x ]0, T[

(3.11)

admet une unique solution u E C([0, T] ; Hj,(Q))nC^l([0, T] ; L²(Q)). De plus, il existe une constante c > 0 (qui ne dépend que de Q et de T ) telle que, pour tout t E [0, T]

I

(

~~~~

at (x, t)

~~~~

2

+ 1Vu(x, t)1^2)dx < c(f n

(1ui(x)1^2 + 1Vuo(x)1^2)dx +

t I 0

I

1f(x, s)1^2 dxds) (3.12)

Preuve Nous appliquans le Théoréme (3.2.1) à la formulation variationnelle 3.4 de l'équation des ondes obtenue à la sous-section (3.2.1) ses hypothése sont facilememt vérifiées avec H = L²(Q) et V = Hj(Q)).

Il reste à montrer que l'unique solution u E C([0, T] ; Hj(Q))nC¹([0, T] ; L²(Q)) de cette formulation variationnelle est bien une solution de 3.11.

Tout d'abord, la condition aux limites de dirichlet se retrouve par application du Théoreme (1.2.2)
de trace à u(t) E H(1^-(Q) pour tout t E [0, T] , et la condition initiale est justifiée par la continuité

de u(t) en t = 0 comme fonction a valeurs dans 1/(1(Q) et de _dtdu en t = 0 comme fonction a valeurs

)

dans L²(Q).

Si la solution u est suf fisamment réguliere, par intégration par partie la formulation variationnelle3.4 est équivalente a

I

2

( Ot2u(x, t) -- Au(x, t) -- f)vdx = 0

pour tout v(x) E C^l_c(Q) et presque tout t E ]0, T[ .on en déduit l'équation de 3.11. Si la solution u n'est pas plus réguliére que ce qui est donné par le Théoreme (3.2.1) on obtient tout de méme l'équation au sens "presque partout" en reprenant les arguments de la démonstration du Théoreme (3.3.1) (que nous ne détallons pas) .

On note 8 = (Ou ' --Vu) la fonction a valeurs victorielles dans 118ⁿ⁺¹, et on peut montrer qu'elle ot

ou

admet une divergence faible en "espace-temps" qui est justememt -- Au qui appartient donc a

ot

L²(]0, T[; L²(Q)).

En l'absence de forces, f = 0 on peut améliorer l'estimation d'énergie (3.12) et obtenir une propriété de conservation de l'énergie totale qui est trés importante du point de vue des applications. l'énergie totale est ici la somme de deux termes d'une part l'énergie cinétique l_at^au_a1² et d'autre part l'énergie mécanique 1Vu1² . Proprietes

Reversibilite en temps

Nous examinons maintenant les principales propriétées qualitatives de la solution de l'équation des ondes, la propriété la plus frappante, est la réversibilité en temps de cette équation.

Proposition 3.2.1 soit Q un ouvert borné régulier de 118ⁿ, et un temps final T > 0.Soit (vo, vi) E 1/(1^-(Q) x L²(Q), et un terme source f E L²(]0, T[; L²(Q)). Alors l'équation des ondes rétrograde en temps (intégrée en remontant le temps a partir de T).

8 <>>> >>>:

2 Ot2v(x,t) -- Av(x,t) = f(x,t), p.p. dans Q x ]0, T[ v(x, t) = 0 p.p. sur 9Q x ]0, T[ u(x, T) = vo(x), :u(x,T) = vi(x), p.p. dans Q

(3.13)

admet une unique solution v E C([0,t];1/j(Q)) n C¹([0, t] ; L²(Q)). De plus u(x, t) est la solution de l'équation des ondes (8.3) et si vo(x) = u(x, t) dans 1/(1^-(Q) et vi(x) = _a^u_t (x,t) dans L²(Q), alors on a v(x, t) = u(x, t).

Chapitre 3. Equation des ondes en dimension ii (Dans II1ⁿ) 35

Preuve On fait le changement d'inconnue w(x, t) = v(x, T - t) et 3.13 devient une équation des ondes "progrissive" avec donnée initiale en t = 0, comme l'équation "usuelle" 3.1 comme la dérivée en temps est d'ordre 2, il n'y a pas de changememt de signe dans l'équation aprés ce changememt d'inconnue).

Par application du Théorème (3.3.1), le problème 3.13 admet une unique solution. Si v0(x) = u(x, t)

@u

et V1(X) = 8t (x,t), la solution u(x,t) de 3.1 est aussi de 3.13. Par unicité on en déduit v(x,t) =

u(x, t).

Le caractére réversible en temps de l'équation des ondes a de nombreuses conséquences. La plus importante est qu'il n'y a aucun effet régularisant pour l'équation des ondes. En effet,si c'était le cas, en changeant le sens du temps, on obientdrait un effet "dérégularisant" contraductoire. Par conséquent, il n'y a ni gain ni perte de régularité pour la solution de l'équation des ondes par rapport aux données initiales. On peut tout au plus aflirmer, comme dans le cas elliptique, que la régularité de la solution de l'équation des ondes est directememt liée a celle des données.