Etude d'une équation hyperbolique

3.1.2 Existence et unicite

Un resultat general

Pour démontrer l'existence et l'unicité de la solution variationnelle 3.4 nous revenons encore pour "diagonaliser" l'opérateur Laplacien et nous ramener a la résolution, d'une famille de simples équations diférentielles ordinaires du deuxiéme ordre.

La première étape de la preuve de l'existence consiste a bien choisir l'espace on chercher la solution de l'équation. L'exigence minimale pour cet espace est la continuité de u(t, x) par rapport au temps. Soit V et H deux espaces de Hilbert tels que V C H avec injection dense et compacte (typiquement V = 1¹0(Q) et H = L²(Q). L'espace le plus faible qui satisfait l'exigence précédente est

C ([0, T] ; Hj(Q) x L²(Q)) oft 1¹₀(Q) x L²(Q) est l'espace de l'energie pour (3.1).

Theoreme 3.1.1 Soient V et H deux espaces de Hilbert tels que V C H avec injection compacte et V est dense dans H . Soit a(u, v) une forme bilinéaire symétrique continue et coercive dans V. Soit un temps final T > 0, une donnée initiale (u0, u1) E V x H, et un terme source f E L²(]0, T[; H). alors le probléme

d^2 dt2(u(t), v)H + a(u(t), v) = (f(t), v)HVv E V, 0 < t < T, (3.5) du u(t = 0) = u0, dt (t = 0) = '1,

(ou l'équation de (3.5) a lieu au sens faible dans ]0, T[) a une unique solution u E C([O, T] ;V n C¹([0, T] ; H). De plus, il exitiste une constante c > 0 (qui ne dépend que de Q et T) telleque

M¹MC([0,T];V ) + MuMc¹([0,T];i) < c(Mu0MV + ^Mu1M" + M.ML2(]0,7[;H))- (3.6)

Remarque 3.1.1 L'estimation d'énergie 3.6 prouve que la solution de 3.5 dépend continument des données, et donc que le probleme hyperbolique 3.5 est bien posé au sens de Hadamard.

Preuve Dans une premiére étape, on montre que toute solution u est une série de fonctions propres. Dans deuxiéme étape, nous démontrons la convergence de cette série dans les espaces C([0, T] ; V ) et C¹([0, T]; H).

Etape1

supposons que u E C([0, T] ; V ) n cⁱ([0, T] ; H) est solution de 3.5. Introduisons la base hilbertienne (uk)k>1 de H composée des fonctions propres de la formulation variationnelle qui vérifient

uk E V, et

a(uk, v) = A/c _(uk,v)HVV E V.

On écrit

u(t) = X+ k=1 ak(t)uk

avec

ak(t) = (u(t), uk)H :

En choisissant v = uk dans 3.5 et en notant

Ok(t) = (f(t), uk)H = (ul, uk)H ;

on obtient

( d2ak dt2 + f`kak =13k dans ]0, T[

a

k(t = 0) = dd

a

t k(t = 0) =

ak(t) = a?, cos(wkt) + ak

Wk

sin(wkt) + 1

wk

_Zt 3k(s) sin(wk(t -- s))ds (3.8)

0

ce qui donne une formule explicite pour la solution u (qui est donc unique). Etape2

Pour démontrer que la série

X+ j=1

(~0 _k cos(wjt) + wj

a j

1

_Zt

0

1

(3.7)

k:

(Attention a une confusion possible dans les notations : la donnée initiale u1 n'a rien a voir la

fonction propre uk pour k = 1.)

Posant wk = 2.k, l'unique solution de 3.7 est

(s) sin(wi(t -- s))ds)ui (3.9)

sin(wit) +

w
·

converge dans C([0, T] ; V ) n C¹([0, T] ; H) on va montrer que la suite

k

Wk = ai(t)ui

j=1

des sommes partielles de cette série est de Cauchy.

Dans V nous considérons le produit scalaire a(u, v) pour lequel la famille (u3) est orthogonale par orthogonalité dans H et dans V de (ui), on obtient pour 1 > k, et tout temps t,

~ ~ a(wl -- wk, wl ~wk) + ~ ~

~ ~~ 2 / d ~ X~^2 dt(wl ~ wk) ~ ~ ~ = (j jj(t)j^2 + ~d~j ~ dt (t) ~ ) H j=k+1

Or, en multipliant 3.7 par ddat k et en intégrant en temps, on obtient

~~~~

dai dt (t)

~~~~

2

~~~^0 + j jj(t)j^2 = ~~~^1 j(t) ~~2 + ^2 j(t) ~~ + 2 j

Zt 0

~j(s)^d~j dt (s)ds.

De la formule 3.8 on infére que

~~~~

dai dt t)

~~~~+ ~~ ~ wj ~~~0a3'1 +

Zt 0

i(s)ds.

En combinant ces deux résultats on en déduit

~~~~	dai dt (t)	~~~~	2	~~2 + 2 + j jj(t)j^2 ~ 2j ~~~^0 ~~~1 ~~2 + 2t j j					Zt 0	,3i(s)1^2 ds. (3.10)
Comme uo 2 V, u1 2 H et f 2 L^2(10,T[; H), on a Na^2 y = a(uo, uo) =							X+ j=1	~~2 < +1; j ~~~^0 j
2 11^7.^10111/ =					X+ j=1	~~ai 1^2 < +cc, 3

11./11²L²a0,7^,[;H) -- +co _f 10i(s)1²ds < +Do,

j=1

ce qui implique que la série, dont le terme général est le membre de gauche de 3.10, est convergente, c'est-à-dire que la suite w^k vérifie

~

~ ~ ~

lim max( _~w^l(t) ~ wk(t) ~2 ~

V + ~

~

d ~2

_dt(w^l(t) wk(t)) ~) = ⁰,

H

autrement dit, elle est de Cauchy dans ([0, ; H) et dans C([0, T] ; V).

Comme ces espaces sont complets, la suite de Cauchy w^k converge et on peut définir sa limite u. En particulier, comme (wk(0), dwk

dt (0)) converge vers (uo, ui) dans V x H, on obtient les conditions

initiales voulues.

D'autre part, il est clair que u(t), en tant que somme de la série3.9 vérifie la formulation variationnelle 3.5 pour chaque fonction test v = uk.

Comme ( _uk?Ak) est une base hilbertienne de V, u(t) vérifie donc la formulation variationnelle 3.5 pour tout v E V, c'est-à-dire que u(t) est bien la solution recherchée de 3.5.

Par ailleurs, on a en fait montré que

~ ~ a(wl -- wk, wl -- wk) + ~ ~

d 2 dt(wl -- w^k) < C (11uo11V + 117411H + T 11f11/,20,71;0, H

et l'estimation d'énergie 3.6 s'obtient alors facilement en prenant k = 0 et en faisant tendre l vers l'infini.