Chapitre 3
Equation des ondes en dimension ri
(Dans RTh)
Ici on s'interres par une équation des ondes pour les
conditions aux limites de Dirichlet suivante :
|
8
<>>>
>>>:
|
@2
@t2 u(x; t) - ~u(x,t) = f(x,t), avec x E ~ u(x, t) =
0, avec x E %1
a
u(x, 0) = u0(x), u(x, O) = u1(x); avec x E ~
ôt
|
(3.1)
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oil est un ouvert borné de Rn de
frontière 8, t ~ 0 et i le Laplacien dans Rn et la fonction
f(x,t) donnée.
Le problème aux limite (3.1) modélise la
propagation des ondes ou de vibration. Par exemple,
la propagation au cours
du temps du déplacement vertical d'une membrane élastique, ou
bien de
l'amplitude d'un champ électrique de direction constante.
L'inconnue u(x, t) ici une fonction scalaire.
Motivation
Ce chapitre est consacré a l'analyse
mathématique d'un probléme d'évolution en temps. Nous
allons plus particuliérement analyser une équation hyperbolique,
l'exemple typique est (3.1), sur laquelle nous nous concentrons.
Le plan de ce chapitre est le suivant, nous démontrons
l'éxistence et l'unicité de la solution de l'équation des
ondes on utilisons un nouveau concept de formulation variationnelle. Nous
utilisons pour cela des bases Hilbertiennes de fonctions propres.
Nous insistons aussi sur la notion d'estimation d'énergie
qui exprime un bilan d'énergie physique et qui justifie en partie les
espaces utilisées.
3.1 Solution de l'équation
Dans cette section, au premier lieu on établit une
formulation variationnelle, deuxièment, on démontre l'existence
et l'unicité de la solution de cette formulation variationnelle en
utilisant une base Hilbertienne de fonctions propres, en suite on montre que
cette solution variationnelle vérifie bien le problème aux
limites.
3.1.1 Formulation variationnelle
L'objectif dans cette action est de transformer l'équation
aux derivées partielles dans (3.1) a une équation
différentielle ordinaire.
L'idée est d'écrire une formulation variationnelle
qui ressemble a une équation différentielle ordinaire du
deuxiéme ordre.
Pour cela, nous multiplions l'équation des ondes (3.1) par
une fonction test v(x) qui ne dépend pas du temps t (dépend
seulement de la variable spatiale x)
v(x)utt(x, t) - v(x)~u(x, t) = v(x)f(x, t) (3.2)
Intégrons (3.2) sur , on trouve
fv(x)LIu(x, t)dx = v(x)f(x, t)dx
~ ~
fv(x)utt(x, t)dx -
Il est clair que l'espace faible "naturel" pour la fonction test
v(x) est H1 0(1).
On introduit alors le produit scalaire de L2(~) et la
forme bilinéaire a(w, v) définis par
|
(w,v)L2(n) = I
~
et
a(w,v) = f
n
|
w(x)v(x)dx
Vw(x).Vv(x)dx.
|
On utilise l'intégration par partie et le faite que
I v(x)Au(x,t)dx = (v(x), Au(x,t))L2(n)
et
I v(x)utt(x, t)dx = (v(x), utt(x, t))L2(1) .
Et a cause de la condition aux limites nous demandons a ce que v
s'annule sur le bord de l'ouvert ~, apres les calculs :
(v(x),Au(x,t))L2(n) = --
(Vv(x),Vu(x,t))L2(n)
= --a(v(x), u(x, t))
et comme v ne dépend que de x
d2
(v(x), utt(x,t))L202) = dt2 (u(t), v)
on obtient,
|
dt2
I
~
|
u(x ,t)v(x)dx + I V u(x ,t).V v (x)dx = I
sz n
|
f(x,t)v(x)dx. (3.3)
|
Soit un temps final T > 0 (éventuellement égal a
+oo), on se donne le terme source
f E L2(]0, T[; L2(Q)).
On se donne aussi des conditions initiales uo E
110 et ui E L2(Q).
La formulation variationnelle déduite (3.3) est donc :
trouver une solution u dans
C([O, T] ; 11((Q) n Cl([O, T]
; L2(Q))
tellque
<> 8
>: u(t = 0) = uo, dt (t = 0) = u1
dt2 (u(t), v)L2(n) + a(u(t), v) = (f(t),
v)L20-0v E 1/(1-(Q),0 < t < T,
d2
du (3.4)
les données initiales ont bien un sens dans 3.4 grace au
choix de l'espace d'énergie C([0,71];11-j(Q)n
C1([0, T] ; L2(Q)) pour la solution u, c -- b -- d :
u0 E 110(Q) et u1 E L2(Q).
Nous justiferons encore ce choix, en établissant son lieu
avec des égalités d'énergie.
Finalement, la dérivée en temps dans la
formulation variationnelle3.4, doit etre prise au sens faible puisqu'a priori
la fonction t --p (u(t),v)L2(n) n'est qu'une fois dérivable en temps
puisqu'elle appartient a C1(0, T).
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