Conclusion et discussion
Il n'y a pas de principe de maximum pour l'équation des
ondes, en l'absence de terme source ( f = 0), même si la viteese initiale
est nulle ( u = 0) et si la donnée initiale est positive ( u0 ~ 0), la
solution u peut changer de signe au cours du temps.
Cette absence de principe de maximum est conforme a
l'intuition physique. Imaginons une corde ou une membrane élastique : si
on la déforme initiallement dans une position au dessus de son plan de
repos, elle va vibrer et passer alternativement en dessus et au dessous de ce
plan (autrememt dit u change de signe).
Mathématiquement, ce centre-exemple peut
s'écrire simplement sous la forme suivante. Soit w(x) la premiére
fonction propre du laplacien dans un dommaine bornée connexe avec
condition aux limites de dirichlet. D'aprés le Théorème
(1.2.3). On peut normaliser w de telle maniére que w(x) ~ 0 dans , en
notant A = w2 la premiére valeur propre associée a w,
il est facile de vérifier que u(x, t) = cos(wt)w(x) change de signe au
cours du temps tout en étant la solution unique dans C([0, T] ;
H1 0( ))flC1([0, t] ; L2( )) de
l'équation des ondes 3.11 sans terme source et avec les données
initiales.
@
u(x,0) = w(x), u(x, 0) = 0 dans .
8t
Il n'y a donc pas non plus de comportement asymptatique en temps
long pour l'équation des ondes en domaine bornée.
Autrememt dit, même si le terme source f ne dépend
pas du temps, la solution u converge pas vers une limite stationnaire lorsque
le temps t tend vers l'infini.
En particulier, si f = 0, l'infiuence des conditions initiales
est la meme a tout temps puisque l'énergie est conservée et ne
décroit pas.
Le meme contre exemple u(x, t) = cos(wt)w(x) permet de voir qu'il
n'y a pas de limite stationnaire mais des oscillations qui perdurent sans
amortissememt.
Cela n'est évidemment pas le cas pour l'équation
des ondes amortie.
Dans un mot sous forme d'une conclusion, on peut souligner que
nous avons montré quelques éclairassions sur l'équation
des ondes. Ce la est suffi sant pour un étudiant en licence,
débutant dans l'étude de ces formes d'équations, on nous
avons commencé le travail par une discussion et développement du
cours pédagogique des EDPs pour le parcours de licence en
mathématique appliquées, et nous avons essayé de le
compléter, soudain nous nous retrouvons dans une étude
approfondie d'un problème mathématique relativement simple, c'est
le prolongement en dimension Ti.
Il y a d'autres problèmes du même type, mais dans
des conditions diffi ciles comme le cas non linéaire on au moine semi
linéaire en prenant en considération les effets d'amortissement.
Laissons ce projet devrait être achevé en master en utilisant les
connaissances acquises est en mesure d'aller plus loin que ce la.
Si le cas, dans les études de doctorat, et avec ce
bagage, on peut plonger directement dans la recherche des problèmes
ouverts dans ce domaine, l'existence des solutions et l'interaction entre les
différents termes de dissipations non linéaire ainsi que le
comportement de la solution s'il existe, cette étude est
extrêmement compliquée.
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